第25届北京市高中力学竞赛决赛试卷

第25届北京市高中力学竞赛决赛试卷（北京四中杯）（全卷满分150分）2012年5月20日9:30~11:30题号一（填空）二（计算题）总分7891011分数阅卷人复查人一、填空题（6小题，每小题8分，共48分）1.一跳远运动员在地球表面跳远，起跳时速度为10m/s，能跳出7.5m远.已知月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6，如果他在月球表面跳远，起跳速度大小也是10m/s，他跳远的记录将是m.2.一举重运动员能举起100kg的重物，他对一根羽毛能施加1000N的力吗？答：，理由是.3.嫦娥飞船绕月球做匀速圆周运动，测出其周期为T，则飞船距月球表面的距离为h，可否不计地球引力而近似表述为2324GMThR，其中M是月球的质量，R是月球半径.答：，理由是.得分4.据北京晚报2012年3月17日和参考消息3月18日报道，奥地利勇士鲍姆加持纳从2.18万米高空的氦气球吊篮中跃下，下落的最高速度到163m/s.下落约3分43秒，距地面2400m高处打开伞，整个下落到地面的时间持续8分8秒.试根据报纸报道和你的分析，在图1中比较准确地画出奥地利勇士下落到地面过程的v-t图线.5.下雨天，假设无风，雨滴以速度υ1竖直下落，雨滴在空中的分布是均匀的，单位体积的雨量是ρ.如图2所示，一个人要从A处运动到B处，他没有带伞，A、B的距离为l，人的运动速度为υ2.把人简化为长方体模型，头和肩的水平面积为S1，身体前方正面的竖直面积为S2.则人从A到B过程中，打到面积S1上的雨量为，打到面积S2上的雨量为.v/m•s-1t/s图1υ1υ2S1S2ABl图26.三个质量均为m的小球A、B、C，用轻杆连接，如图3所示.A、B与B、C的距离相等，A、B、C与地球中心O在一条直线上.三个小球在高空绕地球做匀速圆周运动，如果轻杆收到扰动而偏离直线一小角度θ，则轻杆与直线的偏角θ将（增大、减小、不变），理由是.（本题说明控制卫星天线总指向地球的基本原理）二、计算题（共102分）7.（16分）两个相同的半球，半径都是r，质量为0.5m，放在静摩擦因数为μ=0.5的水平面上.在两个半球上放一个半径为r，质量为m的光滑球，如图4所示.求在平衡状态下两球球心之间的最大距离b.得分ABCO地球θ图3ABCbθ图48．（16分）两个质量分别为1m和2m的小球，它们之间的相互作用表现为斥力（斥力大小表达式为221rmmk，k是常数，r为两球之间距离）.现已知1m以速度0v接近2m，瞄准距离为b，即2m到1m速度方向的垂直距离为b，如图5所示.求1m小球接近2m小球的最近距离d.设21mm，小球2m可近似看作静止.b0vd1m得分图52m1mv9．（20分）如图6所示，质量为m的小球，用不可伸长的线悬于固定点O，线长为l，初始线与铅垂线有一个夹角，初速为0.在小球开始运动后，线碰到铁钉O1.铁钉的方向与小球运动的平面垂直.OO1=hl，且已知OO1与铅垂线夹角为β，设l与铅垂线夹角为.假设碰后小球恰能做圆周运动.求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化.得分图6O1βlO10.(25分)如图7所示，理想滑轮（轻质，无摩擦）两端悬挂两个质量均为m的砝码盘.用轻线拴住劲度系数很大的轻弹簧（弹簧劲度系数为k）两端使它压缩的长度为l，将此弹簧竖直放在左侧砝码盘上，弹簧上放一质量为m的砝码.右侧砝码盘上也放置质量为m的砝码，使两盘静止.燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离.求（1）此系统（包括两个盘、两个砝码、弹簧和细绳）中哪些量守恒？（2）使用守恒定律求砝码脱离弹簧后升起的高度.11．（25分）三个质量为m的小球用两根长为l的不可伸长细绳相连.初始时刻，三个小球在一条线上，静止放在光滑水平面上，标得分得分132图7mm号分别为1、2、3，如图8所示.给标号为3的小球以初速度0v，则这三个小球运动起来，求1、2两球相遇时的速度为多大？第25届北京市高中力学竞赛决赛试题答案（北京四中杯）一、填空题1．45．（8分）2．不能(2分)．一根羽毛不能对运动员施加1000N的力，根据牛顿第三定律，运动员也不能对羽毛施加1000N的力．（6分）3．可以（2分）．在地球引力所用下，月球（携带飞船）绕地球做匀速圆周运动，可认为月球飞船处于失重状态，可只考虑月球对飞船的引力作用（6分）．4．5．211vlvS；（4分）lS2．（4分）t/s163233488v/m•s-16.减少（2分），B球受地球引力与惯性离心力平衡，A球受引力大于惯性离心力，合力指向地球，C球受引力小于惯性离心力，合力背向地球，A、C球受力的力矩使θ角减少（6分）．二、计算题7.解：设最大距离时摩擦力为fmax，AB球心连线与竖直夹角θ．对A球y方向：mgNcos2（3分）cos2mgN对B球y方向：0cos21NmgNB（3分）mgmgmgNB2121对B球x方向：0sinmaxNf（3分）mgNfB21max（1分）0sincos221mgmg1tan1)2()2(tan2max2maxbrb（3分）4443max23maxbrb22max8rbrb22max（3分）8．解：1m小球受力始终指向2m小球中心，1m小球在一平面内运ABCO地球θ21mgNBfmaxyxN动．如图所示．设z轴垂直于此平面且通过2m小球中心，则1m小球所受力对z轴的力矩为零，即对z轴角动量守恒．1m小球以速度v0运动，对z轴角动量是sin01vrm，但brsin，故001sinbmvvrm，1m小球最接近2m小球（距离为d）时，即无继续向2m小球运动的速度，又无远离2m小球的速度，此刻的速度v应与1m小球至2m小球的连线垂直，角动量是vdm1．于是011vbmvdm（1）（5分）得dbvv0在散射过程中，只有斥力作用，故能量守恒。最初，其能量为20121vm动能，到达离2m小球最近时，其总能量为dmmkvm212121，后一项为斥力势能，k为一常数．因此，20121212121vmdmmkvm（2）（5分）有（1）（2）得22202202bvmkvmkd（4分）d只能为正，故式中负号无物理意义，舍去．22202202bvmkvmkd（2分）0vr9．解：假设碰后小球能作圆周运动，运动到最高点的速度v可由（3分）得出ghlv)(2设初始夹角为α由机械能守恒得到：)](coscos[212hllhmgmv（5分）221)cos(mvllmg]23)cos23([coslh假设碰前瞬时速度为v1则：)cos(cos2121mglmv（2分）)cos(cos21glv碰前：lmvmgT211cos（3分）)(cos212hlmvmgT（3分）)cos)(cos(212hlmghTT)cos23(2lmgh（4分）10.解：（1）该质点系能量守恒（3分），对滑轮轴的角动量守恒（2分）。（2）设滑轮半径为R，弹簧释放后，弹簧上边的砝码获得的速度为v，方向向上，左边砝码盘及右边砝码盘及砝码获得的速度大小是v'。该质点系对滑轮轴的角动量守恒，有：-mvR+mv’R+2mv’R=0，（6分）即v=3v'（1）（3分）能量守恒（因为弹簧弹性系数很大，所以忽略重力势能的微小变化），有：2'22)3(212121vmmvkl（6分）即22'23klmvmv（2）左盘中的砝码脱离弹簧获得速度v后做竖直上抛运动（3）（3分）gvhmghmv2/2221mghlmv)(2由⑴⑵可求得v2=3kl2/4m，代入⑶中得：h=3kl2/8mg（2分）11．解：设运动起来后三小球竖直方向速度大小为v，1、2球相遇时速度大小为u．由于是光滑水平面，所以运动起来前后动量守恒、能量守恒，有mvmv30（1）（10分）22202122121mumvmv（2）（10分）解得032vu