浙江省湖州市2013年12月九年级(初三)年级数学竞赛试卷(含答案)

2013年湖州市初三数学竞赛试题（2013年12月8日上午9：00—11：00）题号一二三总分1－89－1415161718得分评卷人复查人答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．一套《少儿百科全书》总价为270元，张老师只用20元和50元两种面值．．的人民币正好全额付清了书款，则他可能的付款方式一共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．设yx,为实数，则4284522xxyyx的最小值为（）A．1B．2C．3D．53.如图，将一块边长为4cm的正方形纸片ABCD，叠放在一块足够大的直角三角板上（并使直角顶点落在A点），设三角板的两直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，那么四边形AECF的面积为（）A．12cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm24.若关于x的方程ccxx22的两个解是cxcx2,，则关于x的方程1212aaxx的解是（）A．aa2,B．12,1aaC．12,aaD．11,aaa5.如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（）A．B．C．D．6．公司职员小王和小陈在同一办事处工作，某天下午2点整要参加公司总部的西部大开发研讨会．下午小陈1点整从办事处出发，乘出租车于1点50分提前到达公司总部；小王因忙于搜集资料，1点25分才出发，为了赶时间，他让出租车从小路走，虽然路程比小陈走的路程缩短了10千米，但由于路况问题，出租车的平均速度比小陈乘坐的出租车的平均速度每小时慢6千米，所以小王还是迟到了5分钟．设小陈乘坐的出租车的平均速度为x千米/时，小陈从办事处到公司总部的距离为y千米，那么（）A．x=30，y=36B．x=3，y=36C．x=36，y=30D．x=3.6，y=307．如图，在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，Pn，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，Pn，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn，…，则S1+S2+S3+…+S2012的结果为()A．40232011B．40232012C．40232013D．402420138．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作正△BCE、正△ABF和正△ACD，已知BC=3，高AH=1，则五边形BCDEF的面积是（）A．3493B．3293C．6D．3398二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．如图是二次函数y=ax2+bx的图象，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则实数m的最大值为．10．如图，直线2ykx(k＞0)与双曲线xky在第一象限内的交点为R，与x轴的交点P2012P1P2P3P412342yx2012…S1S2S3S2012OGBDACE为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积之比是4∶1，则k.(第10题)(第11题)(第12题)11.抛物线2)4(42xy与xxy2422及x轴所围成图形的面积（即图中阴影部分的面积）是。12．正方形对角线BD长为10，BG是∠DBC的角平分线，点E是BC边上的动点，在BG上找一点F，使CF+EF的值最小，则EF=。13．在平面直角坐标系中，如果直线y＝kx与函数y＝2x＋4（x＜－3）－2（－3≤x≤3）2x－8（x＞3）的图象恰有3个不同的交点，则k的取值范围是______________．14．如图,在长和宽分别是8和7矩形内,放置了如图中5个大小相同的正方形,则正方形的边长是.三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为1a，第二个三角形数记为2a，…，第n个三角形数记为na，…，求200a的值。图1OIJKHGFEDCBA78A’16.绿都超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款198元和554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少元？17.已知AB是⊙O的直径，C、E是⊙O上的点，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，过点E作EG⊥0C，垂足为G，延长EG交OA于H。求证：（1）HO·HF=HG·HE；（2）FG=CD。GOABEFCDH18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△ABO如图放置，点A、B的坐标分别为(0，3)、(1，3)，将此直角三角形绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△''ABO，若抛物线2yxbxc过点A，A'，与x轴的另一个交点为C。(1)求点C的坐标；(2)设抛物线的顶点为D,过点D作直线,DMxM轴于P为线段BM上一动点,求以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似时点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E,使得△'AAD和△'AAE的面积相等?若存在,请求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.B′AOBA′yxC参考答案一、选择题1．B2．C3．C4．D5．B6．C7．D8．A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．310．311．2212．52513．232k14．5三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．解：由题意，得：12aa＝３－１＝２－－－－－－－－1分23aa＝６－３＝３－－－－－－－－1分34aa＝１０－６＝４……naann1－－－－－－－－4分以上各式相加，得：naan4321－－－－－－－－2分∴nan321－－－－－－－－2分∴200321200a＝20100－－－－－－－－2分16．解：根据题意可知函数解析式为：y=x（0≤x＜200），y=0.9x（200≤x＜500），y=0.8x+450（x≥500）－－－－－－－－－－－3分∵200×0.9=180∴小明付款198元所购的实际价值有两种情况，即198元或198÷0.9=220元－－－－－－－－－－－4分∵554＞500∴小明付款554元所购的实际价值设为x元，则450+0.8（x－500）=554解得x=630－－－－－－－－2分∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，实际价值为198+630=828（元）或220+630=850（元）－－－－－－－2分即所付款数为450+（828－500）×0.8=712.4（元）或450+（850－500）×0.8=730（元）．－－－－－－－1分答：小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款712.4元或730元．17.解：（1）证明：∵EG⊥0C，EF⊥AB∴∠HGO=∠HFE=90－－－－－－－2分又∵∠GHO=∠FHE∴△HGO∽△HFE－－－－－－－－－－－－2分∴HFHGHEHO即HO·HF=HG·HE－－－－－－－2分（2）过点G作GM⊥0H，垂足为M，连结OE∵HFHGHEHO，∠EHO=∠FHG∴△HGF∽△HOE－2分∴∠HFG=∠HEO∴Rt△FGM∽Rt△EOG－－－－－－－－2分∴OEGFOGGM又GM∥CD∴OCOGCDGM即OCCDOGGM∴OCCDOEGF由OE=OC，得GF=CD－－－－－－－2分方法二：如图添加辅助线，则KL=2GF，CN=2CD∵∠HEL=∠AOC，∴KL=CN，∴GF=CD18.解：(1)∵Rt△''ABO由Rt△ABO旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，点A'的坐标为(3，0)。GOABEFCDHMGOABEFCDHMKLN∵抛物线2yxbxc过A(0，3)，A'(3，0)∴3930cbc解得23bc－－－－2分∴过点A，A'的抛物线的解析式为223yxx－－－－－－1分120,1,3(yxx令解得舍去),∴(1,0).C－－－－－－－－－－－－1分（2）由（1）得D点坐标为（1，4），∴点B在直线DM上，设点P的坐标为（1，y），则AB=1，PM=y，BP=3－y以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似有两种情况:①若△ABP∽△CMP,则12,,362,2.ABCMBPMPyyyyy即(1,2),P即点时△ABP∽△CMP.－2分②若△ABP∽△PMC,则2121,,3332,1,2.ABCMyBPMPyyyyy即(1,1)(1,2),P即点或时△ABP∽△PMC.－4分故(1,1)(1,2),P点或时以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似.(3)存在,理由如下:易得直线AA'的解析式为3yx,D(1,4).设对称轴与AA'交于点H,显然H(1,2)则yB′AOBA′xCDMPyB′AOBA′xCDMEQHFDH=42.DHyy设E(m,223mm),过点E作EF∥y轴交y轴于F,交AA'于Q,则Q(m,－m+3).若,EPDH则AAD和AAE的面积相等.①22212,3,23.3.32,,2,1.2,(2,3).1,(1,4),EAAPFmEFmmEPEFPFmmmmmmmEmE若在直线的上方则解得当时当时点坐标为与D点重合.②22234,3,23.3,32,317317,,.22317317117,(,).222317317117,(,).222EAAPFmEFmmEPPFEFmmmmmmmEmE若在直线的下方则解得当时当时综上所述E点坐标为(2,3),317117(,)22或317117(,).22