第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题解答

第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答一、填空题（每小题3分，共30分）1．1)2(lim6123xexxxxx=1/6.2．设)(xf连续，在1x处可导，且满足)0(,)(8)sin1(3)sin1(xxoxxfxf则曲线)(xfy在1x处的切线方程为y=2x－2.3．设)(xyy是由0sin)ln(2yyxtdtey所确定的函数,则0ydxdy－1.4.设243),(lim2200yxyxyxfyx,则)0,0()0,0(2yxff－2.5.1sin1cosxxedxxtan2xxeC.6．设函数()u可导且(0)1，二元函数()xyzxye满足0zzxy，则()u24ue.7.DdxdyyxIyxyxD)32(,:22则设45.8.数项级数1)!2()!2()1(nnnnnn的和S－1+cos1+ln2.9.123ln1ln1ln1ln1lim123nnnnnnnnnnnnnnn2ln21.10.0)(1)0(,0)0(044)(dxxyyyyyyxy则，，且满足方程函数设41.二、(10分)计算1010]22[dxdyyx,其中[x]为不超过x的最大整数.解xxxxdydxdydxdydxdxdyyx1012112121021021010100]22[dydxdydxxxx23112111210221231213xdydx=23三、(10分)求极限nnnnnn11111lim12..2)1()1(21)11(lim)11ln()111ln()1()11(lim,0)1()1(21)11ln()111ln()1(,),1(211)11ln(,),11()1(211)111ln()1(.1)11(lim2222)11ln()111ln()1(2enonnnnnnnnnnnnonnnnnnnnonnnnnonnnennnnnnnnnnnn原式所以由于原式解四、(10分)设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1),求证:对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[nx，使)1()(nxfxfnn．证明令.,]11,0[)(),1()()(mMnxnxfxfx及最小值所以有最大值上连续在于是有,1,,1,0,)(nkMnkm所以.)(110Mnknmnk故存在],11,0[nxn使.0)]1()0([1)]1()1()2()1()1()0([1)]1()1()0([1)(1)(10ffnfnnfnfnfnffnnnnnnknxnkn)1()(nxfxfnn．五、(10分)设),(yxf有二阶连续偏导数,),(),(22yxefyxgxy,且))1((1),(22yxoyxyxf,证明),(yxg在)0,0(取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值.解))1(()1(),(22yxoyxyxf,由全微分的定义知0)0,1(f1)0,1()0,1(yxffxfyefgxyx221yfxefgxyy2210)0,0(xg0)0,0(yg2222121121122)2()2(2fxxfyefyefyexfyefgxyxyxyxyxxyfxefexyefyeyfxefgxyxyxyxyxyxy2)2()()2(2221112112222121121122)2()2(2fyyfxefxefxeyfxefgxyxyxyxyyA=2)0,1(2)0,0(22fgx1)0,1()0,0(1fgBxy2)0,1(2)0,0(22fgCy032BAC,且0A,故0)0,1()0,0(fg是极大值.六、(10分)(容器侧壁的形状问题)一容器的侧面是由曲线)0()(yyfx绕铅直中心轴y轴旋转而成,其中)(yf在),0[连续,容器底面(过x轴的水平截面)为半径R=1的圆(即f(0)=1).当匀速地向容器内注水时,若液面高度h的升高速度与(2V+π)成反比(这里V表示当时容器内水的体积),求容器侧壁的轴截线)(yfx.解设在时刻t,容器内水的液面高度为h,而水的体积为V,则有dyyfVh02)(π.于是有dtdhhfdtdhdhdVdtdV)(π2.根据题意,hdyyfkVkdtdhkdtdV02221)(22,,代如上式,可得,)(2)(02221hdyyfkhfk化简得])(21[)(02212hdyyfkkhf.由f(0)=1可得21kk,上式两端同时对h求导得)(2)()(22hfhfhf,即)()(hfhf.求出满足f(0)=1的解为hehf)(,即容器侧壁的轴截线为yeyfx)(.七、(10分)设()fx在[,)a上二阶可导，且,0)(,0)(afaf而当ax时,,0)(xf证明在(,)a内，方程()0fx有且仅有一个实根．证明由于当xa时，,0)(xf，因此'()fx单调减，从而'()'()0fxfa，于是又有()fx严格单调减．再由()0fa知，()fx最多只有一个实根．下面证明()0fx必有一实根．当xa时，()()'()()'()()fxfafxafaxa，即()()'()()fxfafaxa，上式右端当x时，趋于，因此当x充分大时，()0fx，于是存在ba，使得()0fb，由介值定理存在()ab，使得()0f．综上所述，知()0fx在(,)a有而且只有一个实根．八、(10分)是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim,0)(,0)0()0(,)(0)(00xudttfdttfxfffxfxxux.))(,()(轴上的截距处切线在在点曲线xxfxxfy.81)]()0([))](()()0(21)[(lim)]([)())((lim)()())((lim)()(lim).(2)()()0()()()0(21)(.)]([)()()(,)()()(),)(()(22202000)(00222xoxfxuoxufxfxfxfxufxfxuxufdttfdttfxoxxuxoxfxfxoxfxfxfxfxfxuxfxfxxuxxXxfxfYxxxxxux由洛必达法则有，知，由于是轴上的截距为它在切线方程：解