天津市高等数学竞赛试题及答案-4套(05-08)

2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．xxxxxsin114lim22x3。2．设函数)(xyy由方程xyyxarctan22e所确定，则曲线)(xyy在点)0,1(处的法线方程为01yx。3．设函数)(xf连续，则xttxtfx022d)(dd)(2xxf。4．设函数f和g都可微，x,xyfu，xyxgv，则xvxugyffy211。5．21212d1arcsinsinxxxxx631。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．函数)(xf在闭区间[1,2]上具有二阶导数，0)2()1(ff，f(x)xxF2)1()(，则)(xF在开区间(1,2)内(B)（A）没有零点；（B）至少有一个零点；（C）恰有两个零点；（D）有且仅有一个零点。2．设函数)(xf与)(xg在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题，⑴若)()(xgxf，则)()(xgxf；⑵若)()(xgxf，则)()(xgxf。则（A）（A）两个命题均不正确；（B）两个命题均正确；（C）命题⑴正确，命题⑵不正确；（D）命题⑴不正确，命题⑵正确。3．设常数0，在开区间,内，恒有0)(，)(2xfxxf，记xxfId)(，则（C）(A)I0；(B)I=0；(C)I0；(D)I非零，且其符号不确定。4．1lim21axafxfx，则)(xf在x=a处（D）（A）导数存在，且0)(af；（B）导数不存在；（C）取得极小值；（D）取得极大值。5．累次积分cos020dsincosdrr,rrfπ可以写成（D）（A）2010ddyyxx,yfy；（B）21010ddyxx,yfy；（C）1010ddyx,yfx；（D）2010ddxxyx,yfx。四、设)(xf在),0[上可导，0)0(f，其反函数为xg，若xxtxtgxfxx1lnd2，求：)(xf。（本题6分）解：命uxt，则utdd，于是xxuugdtxtgxfxfxx1lnd20。将等式xxuugxf1lnd20两边同时对x求导，同时注意到xf(x)g，于是有xxxxxfx11ln22，当0x时，有xxxxf11ln2。对上式两端积分，得到C1ln21lnC1ln1ln1ln2d11ln2xxxxxxxxxxxxxxxf由)(xf在x=0处连续，可知Clim0xfx；又0)0(f，解得C=0，于是xxxxxf1ln21ln。五、计算02dsinsinxxx。（本题6分）解：方法一212ln22121ln124d14sincosd1sincos4dsincos1sincos2d2sin2cos2cos2sin2d2sin2cossindsin1sindsinsin22212402202002002uuuuuutttttttttxxxxxxxxxxxxxxx方法二21ln22011ln21124011ln1ln21124d1114d1114d12d12sindsin1sinsin2dcossinsincos2dsinsin22222102210101022202220202tttttttttttttuuuuuuuuuuxxxxxxxxxxxx六、设闭区域D：0,22xyyx。),(yxf为D上的连续函数，且D22dd81),(vuu,vfyxyxf，求：x,yf。（本题7分）解：设AddDvuu,vf，于是有A81),(22yxyxf，等式两边计算区域D上的二重积分，得DD22Ddd8Add1dd),(yxyxyxyxyxf，即88Add1AD22yxyx，于是32231dcos-131d1ddd12A203sin0220D22ππrrryxyx，所以32261A。故322341),(22yxyxf。九、证明202202d1cosd1sinxxxxxx。（本题8分）证明：方法一（利用积分估值定理）命242402202d1cossind1cossind1cossinxxxxxxxxxxxxI，对上式右端的第二个积分，取变换xt2，则txdd，于是402224022402402242402d2114cossind21111cossind21sincosd1cossind1cossind1cossinxxxxxxxxxxxttttxxxxxxxxxxxxI注意到：被积函数的两个因子在区间4,0上异号（0cossinxx，02114222xxx），由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。方法二（利用积分中值定理）命242402202d1cossind1cossind1cossinxxxxxxxxxxxxI，由积分中值定理，并在区间2,4上取变换xt2，同时注意到：21，得40212240224021242240210dsincos1111dsincos11dcossin11dcossin11dcossin11xxxtttxxxxxxxxxI十、设正值函数)(xf在闭区间[a,b]上连续，baAxxfd)(，证明：))((d)(1de)()(Aababxxfxxfbabaxf。（本题8分）证明：化为二重积分证明。记byabxax,yD,)(，则原式))((d)(d)(dd2)(2)(1ddedde)()(e)()(21dde)()(dde)()(d)(1de)(22)()()()()()()(AababxxfyabyxyfxfyxyxyfxfxfyfyxxfyfyxyfxfyyfxxfbabaDDyfxfDxfyfDyfDxfbabaxf左边利用了e#=1+X(由e#的幂级数展开式可得)十一、设函数)(xf在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得)()(22)()(42fbfbafafab。（本题7分）证明：将函数)(xf在点20bax处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到2,2)(!21222)(121baabaafbaabafbafaf，其中；bbababfbabbafbafbf,2其中,2)(!21222)(222。两式相加得到2212)()(!21)(22)(abffbfbafaf。由于)(xf连续，由介值定理知，存在21,使得2)()()(21fff，从而得)(41)(22)(2fabbfbafaf，即)(22)(4)(2bfbafafabf。十二、设函数)(xf在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，1)(xf，且4)0()0(22ff，证明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得0)()(ff。（本题8分）证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数)(xf应用拉格朗日中值定理2)2()0()()0,2(11fff使；2)0()2()(使)2,0(22fff。注意到：1)(xf，因此12)2()0()(1fff，1)(2f。命：22)()()(xfxfxF，则)(xF在区间[-2,2]上可导，且构造新函数2)()()(21211ffF；2)()()(22222ffF；4)0(F。故)(xF在闭区间21,上的最大值4)(Max)(21,xfFx，且),(21。由弗马定理知0)(F。而)()(2)()(2)(xfxfxfxfxF，故0)()()(2)(fffF。由于4)()()(22ffF，所以0)(f，从而0)()(ff。2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．若,x,ax,xfxxx01e0,arctane122sin是,上的连续函数，则a=－1。2．函数xxy2sin在区间,2上的最大值为332。3．22dexxxx26e2。4．由曲线0122322zyx绕y轴旋转一周得到的旋转面在点230,,处的指向外侧的单位法向量为32051,,。5．设函数x,yzz由方程2exyzxxyz所确定，则zdyxxxxyzxyzdde1e1-1。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）6．设函数f(x)可导，并且50xf，则当0x时，该函数在点0x处微分dy是y的（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。7．设函数f(x)在点x=a处可导，则xf在点x=a处不可导的充要条件是（C）（A）f(a)=0，且0af；（B）f(a)≠0，但0af；（C）f(a)=0，且0af；（D）f(a)≠0，且0af。8．曲线12xxxy（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。9．设x,yx,yf与均为可微函数，且0x,yy。已知00,yx是x,yf在约束条件0x,y下的一个极值点，下列选项中的正确者为（D）（A）若000,yxfx，则000,yxfy；（B）若000,yx