山东省青岛市崂山一中2017年自主招生考试数学试题

青岛崂山一中2017年自主招生考试数学试题本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页。第Ⅰ卷为选择题28分,第Ⅱ卷为非选择题92分,满分120分。考试时间90分钟。考试结束后,将答题卡与答题纸交回。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上。2.第Ⅰ卷每题选出答案后,必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑,如需改动，必须用橡皮擦擦干净，再改涂其它答案标号。答案不能卸载试题卷上。3.第Ⅱ卷的答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上。第Ⅰ卷(选择题28分)一、单选题(本题满分28分,共有7道小题,每小题4分)1.函数y=kx+k与y=xk-(k≠0)在同一坐标系中的图象大致为(）ABCD2.某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划,对20位销售员本月的销售量进行了统计,绘制成如图所示的统计图,则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是()A.19,20,14B.19,20,20C.18.4,20,20D.18.4,25,203.由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示,那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是()A.8B.7C.6D.54.已知关于x的不等式组mx021x3解集为x≤7,则实数m的取值范围是(）A.m＜7B.m≥7C.m＞7D.m≤75.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合，点C落在C′处,折痕为EF,若AB=1,BC=2,则△ABE和△BC′F的周长之和为()第5题第6题第7题A.3B.4C.6D.86.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2、4、3,则原直角三角形纸片的斜边长是(）A.10B.45C.10或45D.10或2177.如图是由一个等腰三角形和一段圆弧BC组成的图形,其中,OB⊥OA,点O恰为圆弧所在圆的圆心,一只蚂蚁从点O出发,沿OA→AB→BC→CO匀速回到点O,运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图象()来表示.第‖卷(非选择题92分)二、、填空题(本题满分20分,共有5道小题,每小题4分)8.化简：4a4-a1-a-a2-a2aa4-a22__________.9.如图,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E,则图中阴影部分的面积为_________.(结果保留根号和π)10.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴有且只有一个交点(1,0),则方程x2+cx+b=0的两个实数根为x1,x2,则x12+x22=_______.11.射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,3cm为半径的圆与△ABC的边第一次相切(切点在AB边上)时,t的值为_________秒.第11题第12题12.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A1,点A2,A3,……在直线l上,点B1,B2,B3,……在x轴的正半轴上,若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,……,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形n1-nnBBA的边n1-nBB=_______。三、解答题(本题共有6道小题,满72分)13.(本小题满分10分)如图,海中有一个小岛A,该岛四周20海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西63.5°的B处,往东行驶16海里后到达该岛的南偏西45°的C处.之后货轮继续向东航行.货轮有没有触礁的危险?若有触礁的危险,请求出货轮从离开C处后,再继续向东航行多少海里可进入暗礁区域?若无触礁的危险,请说明理由。(参考数据:sin63.5°109,tan63.5°≈2)14.(本小题满分12分)崂山一中某班级举行元旦晚会,有一项趣味活动,参加活动的同学转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数,设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下：①若xy≤3,则奖励水杯一个；②若xy≥8,则奖励笔记本一个；③其余奖励中性笔一支；小明同学准备参加此项活动,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀。(1)求小明获得水杯的概率；(2)请比较小明获得笔记本与获得中性笔概率的大小,并说明理由。15.(本小题满分12分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.(1)求证:EO∥CF；(2)求证:BN=BF；(3)猜想:线段CM与CN的数量关系,并加以证明。16.(本小题满分12分)利群商场销售B、C两种品牌运动鞋,B品牌运动鞋进行了4天的试销,试销情况如下表所示：(1)By与x满足哪种函数关系?并求出函数关系式；(2)C品牌运动鞋的进行降价促销活动,经预测销售利润Cy(元)与C品牌运动鞋的销售量x(双)之间存在二次函数关系,如下图所示:请你求出函数关系式.(3)该商场准备购进B、C品牌的运动鞋40双,①如何安排进货,使销售B、C两种品牌的运动鞋获利最大?②若要使两种品牌的运动鞋利润之和为788元,则可以进C品牌运动鞋多少双?③C品牌运动鞋的数量在什么范围内,使两种品牌的运动鞋利润之和不低于788元.17.(本题满分13分)计算数列7，4，1，-2，……前n项的和。探究问题:为解决上面的问题,我们从最简单的问题进行研究。探究一:首先我们来认识什么是等差数列。数学上,称按一定顺序排列的一列数为数列,其中排在第一位的数称为第一项,用a1表示；排在第二位的数称为第二项,用a2表示；……；排在第n位的数称为第n项,用an表示,并称an为数列的通项.如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.公差通常表示为d。(1)根据以上表述,可得:a2=a1+d；a3=a1+2d；a4=a1+3d；……；则通项an=________；(2)已知数列7,4,1,-2…为等差数列,请判断-53是否是此等差数列的某一项,若是,请求出是第几项；若不是,说明理由；探究二:200多年前,数学王子高斯用他独特的方法快速计算出1+2+3+…+100的值.我们从这个算法中受到启发,用下面方法计算数列1,2,3,…,n,…的前n项和：由)可知1+2+3+…+n=2n1n(3)请你仿照上面的研究方式,解决下面的问题：若n321aaaa，，，为等差数列的前n项,前n项和.aaaan321nS证明:.d21-nnna1nS拓广应用:(4)计算:数列7,4,1,-2…前n项的和Sn(写出计算过程)。18.(本题满分13分)如图,已知抛物线y=ax2-2x+C经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1)、点B(9,10),AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点。(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由。