浙江省2014学年九年级数学竞赛试卷(含答案)

2014学年九年级数学竞赛试卷一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知a、b、c是两两不相等的实数．则方程（x－a）（x－b）+（x－b）（x－c）+（x－c）（x－a）=0根的情况为（）．（A）必有两个不相等的实根（B）没有实根（C）必有两个相等的实根（D）方程的根有可能取值a、b、c2．已知21m，21n，且)763)(147(22nnamm=8，则a的值等于（）（A）－5（B）5（C）－9（D）93．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线2xy上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）h1（B）h=1（C）1h2（D）h24．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（）（A）10个（B）14个（C）15个（D）30个5．在△ABC中，ABBCCA，且AC－AB=2，AD为∠BAC的平分线，E为边AC上的一点，联结BE交AD于点G，且2,ACAEAGCDBDGD=2007，则边BC的长为（）．（A）2008（B）2007（C）2006（D）20056．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝62，那么AC的长等于（）（A）12（B）16（C）43（D）82二、填空题（每小题5分，共30分）7、已知a、b、c均为非零实数，满足：bcacababcabc，则()()()abbccaabc的值为_________．ABCOFE8、如图，面积为cba的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则bca的值等于．9．函数1422xxy的最小值是．10、如图，两个全等的边长为正整数的正△A1B1C1和正△A2B2C2的中心重合，且满足A1B1⊥A2C2，若六边形ABCDEF的面积为S=13mn，其中，m、n为有理数，则mn的值为_______．11．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于___________．三、解答题（每小题15分，共60分）13．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式14162222aacb①542aabc②求a的取值范围．DCBAGFE14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且ac＝b．（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y＝－3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．15．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．BACMNPEF16．从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数．（1）求证：当n＝1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017；（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．参考答案一、选择题：1．A．原方程可化为3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．其判别式为△=4（a+b+c）2－4×3（ab+bc+ca）=2[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]．因为a、b、c两两不相等，则△0，所以，方程必有两个不相等的实根．2、解：由已知可得122mm，122nn．又)763)(147(22nnamm=8，所以8)73)(7(a解得a=－9故选C．3、解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c||a|），则点B的坐标为（－a，a2），由勾股定理，得22222)()(acacAC，22222)()(acacBC，222ABBCAC所以22222)(caca．由于22ca，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h=a2－c2=1故选B．4、C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形．5．B．如图，过点E作EF∥AD交CD于点F，设AB=x，则ACCDCDAEDFBD．有BD=DF．所以，DG为△BEF的中位线，则BG=GE．又∠BAG=∠EAG，所以，AB=AE=x．得CE=AC－AE=AC－AB=2．又因EF∥AD，所以AECEACDFCFCD=2．故DF=2x，CF=1．而222EFCEADACAECEx及22220081EFGDAGADAGGDGD，故x=2006．因此，BC=2007．6．B解：在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，则△OGC≌△OAB，所以OG=OA=26，∠AOG=90°，所以△AOG是等腰直角三角形，AG=12，所以AC=16．7、－1或8．令bcacababcabc=k，则b+c=（k+1）a，c+a=（k+1）b，a+b=（k+1）c．于是，2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c）．故a+b+c=0或b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c．所以()()()abbccaabc=－1或8．8、解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则342m，由△ADG∽△ABC，可得mxmmx2323，解得mx)332(于是48328)332(222mx，由题意，28a，3b，48c，所以320bca．9．1解：y=3)1(22x=.0,3)1(2,0,3)1(222xxxx其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为－1．10、13由对称性知，A1B1⊥A2C2，B1C1⊥A2B2，C1A1⊥B2C2，即Rt△A1AF，Rt△A2AB，Rt△B1CB，Rt△B2CD，Rt△C1ED，Rt△C2EF全等．故考察Rt△A1AF．设A1B1=a（a∈N+），AA1=x，则AF=3x，A1F=2x，有x+3x+2x=a．解得x=33a．故S△A1AF=32x2=32（33a）2．ABCEFOG（第6题）xyO（第9题）则S=34a2－3S△A1AF=34a2－34a2．由已知S=13mn及a为正整数，m、n为有理数，得m=2244,3naa．11．238104解：设甲跑完x条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x厘米，乙走了2.91208x厘米，于是．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208xxxx解得328327x．因x是整数，所以x=8，即经过2.98120=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．36解：20152013的个位数字是7，所以可设710kM，其中k是m位正整数，则kNm107．由条件N=4M，得km107=)710(4k，即39)410(7mk．当m=5时，k取得最小值17948．所以T=179487，它的各位数字之和为36．13、解法一：由①－2×②得2()24(1)0bca，所以a－1．当a－1时，14162222aacb=2(1)(7)0aa．又当ba时，由①，②得221614caa，③245acaa④将④两边平方，结合③得2222(1614)(45)aaaaa化简得3224840250aaa，故2(65)(425)0aaa，解得56a，或1214a．所以，a的取值范围为a－1且56a，1214a．解法二：因为14162222aacb，245bcaa，所以22222()216142(45)4844(1)bcaaaaaaa，所以2(1)bca．又245bcaa，所以b，c为一元二次方程222(1)450xaxaa⑤的两个不相等实数根，故224(1)4(45)0aaa，所以a－1．当a－1时，14162222aacb=2(1)(7)0aa．另外，当ba时，由⑤式有222(1)450aaaaa，即24250aa或650a，解得，1214a或56a．当ca时，同理可得56a或1214a．所以，a的取值范围为a－1且56a，1214a14、解：（1）由B（0，4）得，c=4．G与x轴的交点A（2ba，0），由条件acb，得bca，所以2ba=22c，即A（2，0）．所以4,4240.baab解得1,4.ab所求二次函数的解析式为244yxx．（2）设图象L的函数解析式为y=3x+b，因图象L过点A（2，0），所以6b，即平移后所得一次函数的解析式为y=36x．令36x=244xx，解得12x，25x．将它们分别代入y=36x，得10y，29y．所以图象L与G的另一个交点为C（5，9）．如图，过C作CD⊥x轴于D，则S△ABC=S梯形BCDO－S△ACD－S△ABOABDCOxy（第14题）=111(49)53924222=15．15．解：（1）如图1，连结PN，则PN∥AB，且ABPN21．∴△ABF∽△NPF，2PNABFNAFFPBF．∴BF=2FP．（2）如图2，取AF的中点G，连结MG，则MG∥EF，AG=GF=FN．∴S△NEF=41S△MNG=41×32S△AMN=41×32×41S△ABC=241S．16．解：（1）设123xxx，，，…，1007x是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m，2009－m)，其中m=1，2，3，…，1004．因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)mmmmmm，，，，，(123mmm，，互不相等)均为123xxx，，，…，1007x中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k，2008－k)，其中k=1，2，…，1003．2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123xxx，，，…，1007x中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)kk，．又在三对数112233(2009)(2009)(2009)mmmmmm，，，，，，(123mmm，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)kk，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)mm，，于是1111200920084017mmkk．（2）不成立．当1006n时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003，1004，…，2008，BACMNPEF（图1）BACMNPEF（图2）G则其中任何四个不同的数之和不小于10