上海市历届高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案(1980-2012)

2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．如图，正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边111111ABCDEF形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是222222ABCDEF．2．已知正整数满足：1210,,,Laaa3,1102≤≤jiaija，则的最小可能值是10a．3．若17tantantan6αβγ++=，4cotcotcot5αβγ++=−，cotcotαβγβcotcot+αγcotcot+517−=，则(tan)αβγ++=．1ODCBA4．已知关于x的方程仅有一个实数解，则实数的取值()()lg2lg1=+kxxk范围是．5．如图，是边长为ΔAEFx的正方形的内接三角形，已知ABCD90∠=AEF°，,,==AEaEFbab，则=x．6．方程的非负整数解1233213+⋅−+=mnnm(),=mn．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是．（用数字作答）()8．数列{}na定义如下：1221211,2,,1,2,22+++===−=++Lnnnnnaaaaannn.若201122012+ma，则正整数的最小值为m．二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，ABx=，1BC=，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为．45BOC∠=°()hx求的表达式，并写出x的取值范围．()hx10．（本题满分14分）给定实数，求函数1a(sin)(4sin)()1sinaxxfxx++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,xyz满足94xyzxyyzzx+++=；求证：（1）43xyyzzx++≥；（2）．2xyz++≥12．（本题满分16分）给定整数，记(3)n≥()fn为集合{}1,2,,21n−L的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：①1,；②A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．21nA−∈A∈（1）求(3)f的值；（2）求证：．(100)108f≤2012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案1、9342、923、114、(){},04−∞U5、222()aaab+−6、7、()(3,0,2,2)258、40259．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(22OBOCABBCx+=+=+1)．①…………………（2分）在△OBC中，由余弦定理2222cosBCOBOCOBOCBOC=+−⋅∠，所以222OBOCOBOC1+−⋅=，②由①，②得2122xOBOC−⋅=．③…………………（5分）所以：144sin2ABCDOBCSSOBOCBOCΔ==⋅⋅∠2OBOC=⋅212x−=，故：()ABhx⋅212x−=，所以：21()2xhxx−=．…………………（10分）由③可得，，故210x−1x．因为，结合②，③可得：222OBOCOBOC+≥⋅2211(1)2222xx−+≥⋅，解得（结合1x）12x≤+1．综上所述，21()2xhxx−=，12x≤+1．…………………（14分）10．解(sin)(4sin)3(1)()1sin21sin1sinaxxafxxaxx++−==++++++．当713a≤时，03(1)a−≤2，此时：3(1)()1sin223(1)21sinafxxaaax−=++++≥−+++，且当(](sin3(1)11,1xa=−−∈−)时不等式等号成立，故min()23(1)2fxaa=−++．………（6分）当73a时，3(1)2a−，此时“耐克”函数3(1)aytt−=+在(0,3(1)a⎤−⎦内是递减，故此时min3(1)5(1)()(1)2222aafxfa−+==+++=．综上所述，min723(1)2,1;3()5(1)7,.23aaafxaa⎧−++≤⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩…………………（14分）11．证（1）记3xyyzzxt++=，由平均不等式：()33223()()()3xyyzzxxyzxyyzzx++⎛⎞=≤⎜⎟⎝⎠．…………………（4分）于是324993xyzxyyzzxtt=+++≤+，所以()，()2323320ttt−++≥0而，所以2332tt++320t−≥，即23t≥，从而43xyyzzx++≥．…………………（10分）23)（2）又因为：2()3(xyzxyyzzx++≥++，所以，2()xyz++≥4故．…………………（16分）2xyz++≥12．解（1）设集合{}31,2,,21A⊆L−，且A满足（a），（b）．则1,7AA∈∈．由于{}()1,,72,3,,6mm=L不满足（b），故3A．又{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7,{}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足（b），故4A．而集合{}1,2,4,6,7满足（a），（b），所以(3)5f=．…………………（6分）（2）首先证明：(1)()2,3,4,fnfnn+≤+=L．①事实上，若{}1,2,,21nA⊆L−，满足（a），（b），且A的元素个数为()fn．令{}1122,21nnBA++=−U−1，由于1222nn+−−，故()2Bfn=+．又，所以，集合11222(21),211(22nnnn++−=−−=+−1)+{}11,2,,21nB+⊆L−，且B满足（a），（b）．从而：(1)()2fnBfn+≤=+．…………………（10分）其次证明：．②(2)()1,3,4,fnfnnn≤++=L事实上，设{}1,2,,21nA⊆L−满足（a），（b），且A的元素个数为()fn．令{}222(21),2(21),,2(21),21nnnnnBA=−−−UL−1n，由于，222(21)2(21)2(21)2nnnn−−−−L所以{}21,2,,21nB⊆−L，且()1Bfnn=++．而，12(21)2(21)2(21),0,1,,1knknknk+−=−+−=−Ln2212(21)(21)nnnn−=−+−，从而B满足（a），（b），于是：(2)()1fnBfnn≤=++．…………………（14分）由①，②得(21)()3fnfnn+≤++．③反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151fff≤++≤+++(12)12377(6)6192ff≤+++≤+++(3)3199108f≤+++=．…………………（16分）2011年新知杯上海市高中数学竞赛试题2011年3月27日上午8：30——10：30说明：解答本试题不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分）1.方程组的解集为271211xxyxy++⎧=⎪⎨+=⎪⎩.2.在平面直角坐标系中，长度为1的线段AB在x轴上移动（点A在点B的左边），点、Q的坐标分别为、(，则直线与直线P()0,1)1,2APBQ交点R轨迹的普通方程为.3.已知M是椭圆221169xy+=在第一象限弧上的一点，MNy⊥轴，垂足为，当的面积最大时，它的内切圆的半径NOMNΔr=4.已知外接圆半径为1，角ABCΔA、B、的平分线分别交CABCΔ外接圆于、1A1B、，则1C111coscoscos22sinsinsinABAABBCCABC++++2C的值为.5.设()()3sin112fxaxbxπ=++−⎡⎤⎣⎦+，其中、为实常数，若ab()lg55f=，则的值为(lg20f).6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点()3,Aa，()3,Bb使，其中、b均为整数，且，则满足条件的数对共有045AOB∠=aab(,ab)组.7.已知圆的方程为（圆心为C），直线C22421xyxy+−−+=0()0tan102yx=+与圆C交于A、B两点，则直线AC，BC倾斜角之和为.8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12，则甲最后获胜的概率是.二、解答题：9.（本题满分为14分）对于两个实数、b，a{}min,ab表示a、中较小的数，求所有非零实数bx，使41min,48min,xxxx⎧⎫⎧⎫⎬⎭+≥⋅⎨⎬⎨⎩⎭⎩.110.（本题满分为14分）如图，在ABCΔ中，为OBC中点，点M，分别在边NAB，AC上，且6AM=，4MB=，，，.求4AN=3NC=090MON∠=A∠的大小.11.（本题满分为16分）对整数，定义集合k(){}50501,kSnknknZ=≤≤+∈，问，，，…，这600个集合中，有多少个集合不含完全平方数？0S1S2S599S12.（本题满分为16分）求所有大于1的正整数n，使得对任意正实数1x，2x，…，nx，都有不等式()(21212231nn)xxxnxxxxx++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+x.22011年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见一.填空题(7'48'460')×+×=1.}{(0,1),(2,1),(3,4),(4,5)−−−;2.y(x-2)=-2;3.22;4.2;5.-1;6.6;7.;8.200o1116.二.解答题9.解:当时,0x4424,0xxxxx+≥⋅=当时,444,xx+≤−故min{}4,4xx+=4,04,0.xxxx⎧⎪⎨+⎪⎩；又min1,xx⎛⎞⎟⎜⎠⎝=1,101;,10x1xxxxx⎧−⎪⎨⎪≤−≤⎩或或.(4’)所以有以下四种情形:(1)当1x时,原不等式为84x≥,2x≥.此时,[)2,x∈+∞.(2)当01x≤时,原不等式为148,2xx≥≤.此时,1(0,]2x∈.(9’)(3)当10x时,原不等式为−2484.xxxx+≥⇔≤此时,(1,0)x∈−.(4)当1x≤−时,原不等式为24487xxxx+≥⇔≥.此时,(,1]x∈−∞−.综上所述,满足题意的x的取值范围为1(,0)(0,][2,)2−∞∪∪+∞.(14’)10.解:延长NO至P,使OP=ON,又BO=OC,可知BPCN为平行四边形,//BPAC∴,BP=CN=3.(3’)A64NM34BOCP连接MP,MQ在NP的垂直平分线上,MPMN∴=(6’)令MN=a,则在和AMNVMBPV中,由余弦定理得2222222264264cos5248cos,34234cos2524cos.aMNAAaMPAA==+−⋅⋅=−==++⋅⋅=+(10’)消去,得,2a2772cos0A−=于是33cos,arccos.88AA=∠=(14’)11.解:22(1)21,2150()24()xxxxxNxxN+−=++≤∈⇔≤∈Q.212(241)625,S+=∈340112,,,SSS∴L中含有的平方数都不超过,且每个集合都是由连续50个非负整数所组成的,故每个集合至少含有1个平方数.(6’)2251314599,,,SSSL中,若含有平方数,都不小于.而当时,2x+153,从而中,每个集合至多含有1个平方数.22626x≥≥1314599,,,SSSL另一方面,中最大数是,599S60050129999⋅−=2217329999174,∴1314599,,,SSSL中含有平方数.则不超过.(12’)2173∴1314599,,,SSSL中有且仅有173-25=148个集合含有平方数.综上所述,中,01599,,,SSSL有600-13-148=439个集合不含有平方数.(16’)12.解:当n=2时,不等式为2121221()2(),xxxxxx+≥+即212()xx−≥0,),故n=2满足题意.(2’)当n=3时,不等式2123122331()3(xxxxxxxxx++≥++等价于222122331()()(