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2008年江苏省高中数学竞赛试卷一、选择题(本题满分30分,每小题6分)1.如果实数m,n,x,y满足anm22,byx22,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为(B)A.2baB.abC.222baD.222ba2.设)(xfy为指数函数xay.在P(1,1),Q(1,2),M(2,3),41,21N四点中,函数)(xfy与其反函数)(1xfy的图像的公共点只可能是(D)A.PB.QC.MD.N3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么zyx的值为(A)A.1B.2C.3D.44.如果111CBA的三个内角的余弦值分别是(B)222CBA的三个内角的正弦值,那么()A.111CBA与222CBA都是锐角三角形B.111CBA是锐角三角形,222CBA是钝角三角形C.111CBA是钝角三角形,222CBA是锐角三角形D.111CBA与222CBA都是钝角三角形5.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a,b,且”的平面,()A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对二、填空题(本题满分50分,每小题10分)6.设集合222xxBxxxA和,其中符号x表示不大于x的最大整数,则AB___________________.7.同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出6点的概率是P____________(结果要求写成既约分数).8.已知点O在ABC内部,022OCOBOA.OCBABC与的面积之比为_________________.120.51xyz9.与圆0422xyx外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10.在ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则222cba=______________.三、解答题(本题满分70分,各小题分别为15分、15分、20分、20分)11.已知函数cbxxxf22)(在1x时有最大值1,nm0,并且nmx,时,)(xf的取值范围为mn1,1.试求m,n的值.12.A、B为双曲线19422yx上的两个动点,满足0OBOA。(Ⅰ)求证:2211OBOA为定值;(Ⅱ)动点P在线段AB上,满足0ABOP,求证:点P在定圆上.2009021713.如图,平面M、N相交于直线l.A、D为l上两点,射线DB在平面M内,射线DC在平面N内.已知BDC,BDA,CDA,且,,都是锐角.求二面角NlM的平面角的余弦值(用,,的三角函数值表示).14.能否将下列数组中的数填入3×3的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48;(Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.MBDANC参考答案一、选择题(本题满分30分,每小题6分)1.解由柯西不等式abyxnmnymx))(()(22222;或三角换元即可得到abnymx,当2anm,2byx时,abnymx.选B.2.解取161a,把坐标代入检验,4116121,而2116141,∴公共点只可能是点N.选D.3.解第一、二行后两个数分别为2.5,3与1.25,1.5;第三、四、五列中的5.0x,165y,163z,则1zyx.选A.4.如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值,那么解两个三角形的内角不能有直角;111CBA的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形;若222CBA是锐角三角形,则不妨设cos1A=sin2A=cos12A,cos1B=sin2B=cos22A,cos1C=sin2C=cos12C.则212AA,212BB,212CC,即)(23222111CBACBA,矛盾.选B.5.解任作a的平面,可以作无数个.在b上任取一点M,过M作的垂线.b与垂线确定的平面垂直于.选D.二、填空题(本题满分50分,每小题10分)6.解∵2x,x的值可取1,0,1,2.当[x]=2,则02x无解;当[x]=1,则12x,∴x=1;当[x]=0,则22x无解;当[x]=1,则32x,∴3x.所以31或x.7.解考虑对立事件,216916513P.BOCA8.解由图,ABC与OCB的底边相同,高是5:1.故面积比是5:1.9.解由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、2x为准线的抛物线上的点;若切点是原点,则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82xxy,或)0(0xy.10.解切割化弦,已知等式即CBCBCACABABAcoscossinsincoscossinsincoscossinsin,亦即CBACBAcos)sin(sinsinsin,即CCBA2sincossinsin=1,即1cos2cCab.所以,122222ccba,故3222cba.三、解答题(本题满分70分,各小题分别为15分、15分、20分、20分)11.解由题1)1(2)(2xxf,……5分1)(xf,11m,即1m,nmxf,)(在上单调减,mmmf11)1(2)(2且nnnf11)1(2)(2.……10分m,n是方程xxxf11)1(2)(2的两个解,方程即)122)(1(2xxx=0,解方程,得解为1,231,231.nm1,1m,231n.……15分12.证(Ⅰ)设点A的坐标为)sin,cos(rr,B的坐标为)sin,cos(rr,则OAr,OBr,A在双曲线上,则19sin4cos222r.所以9sin4cos1222r.……5分由0OBOA得OBOA,所以22sincos,22sincos.同理,9cos4sin9sin4cos122222r,所以3659141'11||1||12222rrOBOA.……10分(Ⅱ)由三角形面积公式,得OBOAABOP,所以2222OBOAABOP,即22222OBOAOBOAOP.即136591411122222OPOPOBOAOP.于是,5362OP.即P在以O为圆心、556为半径的定圆上.……15分13.解在平面M中,过A作DA的垂线,交射线DB于B点;在平面N中,过A作DA的垂线,交射线DC于C点.设DA=1,则tanAB,cos1DB,tanAC,cos1DC,……5分并且BAC就是二面角NlM平面角.……10分在ABCDBC与中,利用余弦定理,可得等式costantan2tantancoscoscos2cos1cos122222BC,所以,coscoscos2cos1cos1tantancostantan22222=coscos)coscos(cos2,……15分故得到sinsincoscoscoscos.……20分14.解(Ⅰ)不能.……5分因为若每行的积都相等,则9个数的积是立方数.但是2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3121211=219·38不是立方数,故不能.(Ⅱ)可以.……15分如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23.……20分36224812186724
本文标题:江苏数学竞赛_高中
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