抛物线焦点弦经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线pxy22(p0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A),(11yx、B),(22yx两点结论1：pxxAB21pxxpxpxBFAFAB2121)2()2(结论2：若直线L的倾斜角为，则弦长2sin2pAB证:(1)若2时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,结论得证pAB2(2)若2时,设直线L的方程为：tan)2(pxy即2cotpyx代入抛物线方程得0cot222ppyy由韦达定理cot2,21221pyypyy由弦长公式得22212sin2)cot1(2cot1ppyyAB结论3：过焦点的弦中通径长最小pp2sin21sin22AB的最小值为p2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4：)(832为定值pABSoAB8sin2sinsin2221sin21sin21sin21sin2132220PABSpppABOFBFAFOFAFOFBFOFSSSOABAFOBFOAB结论5：(1)221pyy(2)x1x2=42p证44)(,2,22222121222211PPyyxxpyxpyx结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1，过B点作准线的垂线BB1，过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知222111ABBFAFBBAAMM故结论得证结论7：连接A1F、B1F则A1FB1FFAAFOAFOAFAAOFAAAFAFAAAFAA11111111//,同理901111FBAFBBFOBA1FB1F结论8：（1）AM1BM1（2）M1FAB（3）BFAFFM21（4）设AM1与A1F相交于H，M1B与FB1相交于Q则M1，Q，F，H四点共圆（5）2121214MMBMAM证：由结论（6）知M1在以AB为直径的圆上AM1BM111FBA为直角三角形，M1是斜边A1B1的中点111111111AFAFAAFAMFAMFMMA9011111MAAMFAFAA90111FMAAFAM1FABBFAFFM21AM1BM1FBFA90111又BAM90FBA11所以M1，Q，F,H四点共圆，22121ABBMAM2121211242MMMMBBAABFAF结论9：（1）、AO、B1三点共线（2）B，O，A1三点共线（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴证：因为pypykyppyyxykoBoA2212111122,221，而221pyy所以122222oBoAkpyyppk所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）结论10：pFBFA211p21|CD|1|AB|1证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为E,的倾斜角为因为直线L则cos1cosPAFAFAFPFREFERPAFcos11同理可得PBFcos11pFBFA211结论11：证:AABBEAEBAAFABBBFFABFEAEBAAEFBB1111111111,////EBBEAAEBB90111111＝相似于EAAEBBEAAPEQEFBEFAEF90EBBBEFEAAAEF11平分角即＝＝＋＝＋0KKXBEAEBEAEBFAFBEAE＝＋轴对称关于和直线直线(4)90AEBFBEFAF2＝＝＝时，当2pxy2p-xkyL22将其代入方程的方程为时，设直线当k2kpxx)y,B(x),y,A(x04pk2)xp(k-xk2221221122222则设得x1x2=4p2假设122y1KKBEAE2211BEAEpxypx＝－则2px2px-2p-xk2p-xk2px2px-yy21212121即222222222212122121k2p01k4p1kxx2pxx1kkkkp结论得证假设错误不可能02结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则推广与深化：AEBEAFAE(1)PEQ(2)(3)KK0BFBE(4)AEBE,AEBE22EF线段平分角当时当时不垂直于深化1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有pa2yy21．证：设AB方程为my=x-a，代入px2y2．得：0ap2pmy2y2，∴pa2yy21．深化2：性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则21|AB||FR|证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：)2px(tgay，代入px2y2得：px2)4ppxx(atg222，即：04p)apctg2p(xx222．由性质1得asinp2apctg2p2pxx|AB|2221，又设AB的中点为M，则|acosapctg||acos2p2xx||FM|221，∴asinp|acosapctg||acos||FM||FE|222，∴21|AB||FR|．深化3：过抛物线的焦点F作n条弦nn2211BABABA、、，且它们等分周角2π，则有（1）n1iii|FB||FA|1为定值；（2）n1iii|BA|1为定值．证明：（1）设抛物线方程为aFxA,cos1p1．由题意n1naFxAn2aFxA,naFxAn32，所以222211pasinpacos1p)acos(1pacos1|FB||FA|1，同理22nn2222p)n1na(sin|FB||FA|1,,p)na(sin|FB||FA|1易知2n)n1na(sin)n2a(sin)na(sinasin2222，∴222n1i2222iip2np)n1na(sinp)na(sinpasin|FB||FA|1．（2）∵asinp2acos1p2)acos(1pacos1p|BA|2211，∴p2)n1na(sin|BA|1,,p2asin|BA|12nn211，∴p4np2)n1na(sinp2)na(sinp2asin|BA|12n1i22ii．