10-专题研究

高考调研第1页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究排列组合的综合应用高考调研第2页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练自助餐高考调研第3页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第4页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习排列组合中的几何问题依然是利用两个基本原理求解，并注意到分类的不重不漏．例1(1)平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．①用这9个点可以确定多少条直线？②用这9个点可以确定多少个三角形？③用这9个点可以确定多少个四边形？题型一几何问题高考调研第5页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】①确定一条直线需要两个点，因为有4个点共线，所以这9个点所确定直线的条数为C29－C24＋1＝31.②确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这9个点确定三角形的个数为C39－C34＝80.③确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这9个点确定四边形的个数为C49－C15C34－C44＝105.【答案】①31②80③105高考调研第6页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(2)在正方体的八个顶点中取三点连成三角形，可构成________个等腰直角三角形．【答案】24高考调研第7页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(1)平面内有n条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n条直线的交点的个数为()思考题1A．n(n－1)B．(n－1)(n－2)C.nn－12D.n－1n－22【解析】这n条直线交点的个数为C2n＝nn－12.【答案】C高考调研第8页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，若在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有多少种？【解析】方法一：从10个点中，任意取4个点的不同取法共有C410种，其中，所取4个点共面的可分为两类．第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有4C46种取法．高考调研第9页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：①4个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有1个点是某棱的中点，另3点在对棱上，因为共有6条棱，所以有6种取法；②4个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4个点必然都是棱的中点，它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边，故有3种不同取法．所以符合题意的不同取法种数为C410－(4C46＋6＋3)＝141.高考调研第10页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：在四面体中取定一个面，记为α，那么取不共面的4个点，可分为四类．第一类，恰有3个点在α上．这时，该3点必然不在同一条棱上，因此，4个点的不同取法数为4(C36－3)＝68.第二类，恰有2个点在α上，可分两种情形：①该2点在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为3C23·(C24－3)＝27；②该2点不在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为(C26－3C23)(C24－1)＝30.高考调研第11页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习第三类，恰有1个点在α上，可分两种情形：①该点是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×3＝9；②该点不是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×2＝6.第四类，4个点都不在α上，只有1种取法．应用分类计数原理，得所求的不同取法数为68＋27＋30＋9＋6＋1＝141.【答案】141高考调研第12页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．题型二分组分配问题高考调研第13页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习例2按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；高考调研第14页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【思路】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．高考调研第15页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)无序不均匀分组问题，先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法，故共有C16C25C33＝60种．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360种．高考调研第16页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33＝15种．高考调研第17页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33·A33＝C26C24C22＝90种．(5)有序部分均匀分组问题，共有C46C12C11A22＝15种．(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22·A33＝90种．高考调研第18页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)60(2)360(3)15(4)90(5)15(6)90(7)30(7)直接分配问题．甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C44种方法，共有C16C15C44＝30种．高考调研第19页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(1)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．思考题2【解析】6位志愿者分成四组有C26C24C12A22·A22＝45种方案，四组分赴四个不同场馆有A44＝24种方案，因此不同的分配方案有C26C24C12A22·A22·A44＝1080种．【答案】1080高考调研第20页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(2)6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法？【解析】人员分配有两类：1,1,1,3或1,1,2,2.先取人，后取位子．1,1,1,3：6人中先取3人有C36种取法，与剩余3人分到4所学校去有A44种不同分法，∴共C36A44种分法；高考调研第21页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习1,1,2,2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C26C24C12A22A22种，然后分到4所学校去，有A44种不同的分法，共C26C24C12A22A22A44种分法．所以符合条件的分配方法有C36A44＋C26C24C12A22A22A44＝1560种．【答案】1560高考调研第22页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习例38个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有________种．题型三名额分配问题(隔板法)高考调研第23页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】一共有8个相同的小球，放入5个不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成5份，每份至少1个．(定分数)将8个小球摆放一列，形成9个空，中间有7个空，(定空位)则只需在这7个空中插入4个隔板，隔板不同的放法有C47＝C37＝7×6×53×2×1＝35种．(插隔板)所以每盒不空的放法共有35种．【答案】35高考调研第24页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习【讲评】(1)分定数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．高考调研第25页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．高考调研第26页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(2015·河北沧州市回民中学)有5个大学保送名额，计划分到3个班级每班至少一个名额，有多少种不同的分法？思考题3【解析】一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份至少1个．(定分数)将5个名额排成一列产生6个空，中间有4个空．(定空位)即只需在中间4个空中插入2个隔板，隔板不同的方法共有C24＝6种．(插隔板)【答案】6种高考调研第27页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习例4(1)(2014·北京理)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．题型四综合问题高考调研第28页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】利用排列知识求解．将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法．于是符合题意的排法共有A22A44－A22A33＝36种.【答案】36高考调研第29页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(2)(2015·衡水调研卷)设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}，A⊆S，a1，a2，a3满足a1a2a3且a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为()A．76B．78C．83D．84高考调研第30页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】在集合S中任取三个数共有C39＝84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满足a3－a2≤6，又最大数减去次大数大于6的情况只有1种，即a1＝1，a2＝2，a3＝9，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为C39－1＝83，故选C.【答案】C高考调研第31页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(1)形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻数位的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．思考题3【解析】千位和十位只能有(3,5)，(4,5)这2种情形．当十位和千位为(3,5)时，3的左、右只有排1,2，共有A22A22＝4种；当十位和千位为(4,5)时，共有A22A33＝12种情形．∴共有12＋4＝16种情形．【答案】16高考调研第32页第十章计数原理和概率新课标版·数学（理）·高三总复习(2)某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课