2020-2021年高三数学理科模拟试卷

第1页（共13页）高三理科模拟试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合，，则A.B.C.D.2.设，则A.B.C.D.3.已知，，，则A.B.C.D.4.下列有关命题说法正确的是A.命题：“，”，则是真命题B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“，使得”的否定是：“，”D.“”是“在上为增函数”的充要条件5.已知对任意实数，有，，且时，，，则时A.B.C.D.6.刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心，圆的半径为，现随机向圆内段放粒豆子，其中有粒豆子落在正十二边形内（，），则圆周率的近似值为A.B.C.D.7.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则A.B.C.D.第2页（共13页）8.执行如图所示的程序框图，输出的值为A.B.C.D.9.在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于A.B.C.D.10.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为A.B.C.D.11．关于函数()sin|||sin|fxxx有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为()第3页（共13页）A.3π8B.3π2C.3π2D.33π2二、填空题（共4小题；共20分）13.在曲线上求一点，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为，则点坐标为．14.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为．15.已知向量序列：，，，，，满足如下条件：，且（）．若，则；，，，，，中第项最小．16.已知抛物线的准线方程为，焦点为，、、为该抛物线上不同的三点，、、成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为．第4页（共13页）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.(12分)在中，角，，的对边分别是，，，已知，，．（1）求的值；（2）若角为锐角，求的值及的面积．18.(12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为的正三角形，，．（1）求证：；（2）设是棱上的点，当时，求二面角的余弦值．19.（12分）已知动点到定点和的距离之和为．（1）求动点轨迹的方程；（2）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值．20.（12分）第5页（共13页）设，．（1）令，讨论在区间内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有．21.（12分）某高校共有学生人，其中男生人，女生人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生样本数据?（2）根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过个小时的概率．（3）在样本数据中，有位女生的每周平均体育运动时间超过个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）第6页（共13页）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca．第7页（共13页）答案第一部分1.C2.D3.A【解析】因为，，函数在上单调递增，所以，即，又因为函数在上单调递增，所以，即，所以．4.D5.B【解析】由题可知，为奇函数，为偶函数．因为时，，，所以和在上均为增函数．由于奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，故在上为增函数，在上为减函数，所以当时，，．6.C【解析】由几何概型中的面积型可得：，所以，即．7.A8.B9.B【解析】因为是等比数列，设公比为，则，又因为数列也是等比数列，则即所以，所以是等差数列．故是常数列，，所以．10.C【解析】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，所以．11..C12.答案及解析：答案：C解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，记作SABCD，其中SA平面ABCD,且1SA,底面ABCD为正方形，边长为1.将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线为外接球的直径,设外接球的半径为r,则323,2rr，所求外接球的体积3344π3π()332Vr4π333π382第二部分13.第8页（共13页）【解析】设．因为，．所以．所以，．14.【解析】正品率为，所以次品率为．15.，【解析】由，得，，又，所以．根据题意作出下图，可得，第三项最小．其他解法：由题意得，因为，所以，又因为，，所以；因为，所以当时，最大．16.【解析】设．因为抛物线的准线方程为，所以，．因为，所以又因为，成等差数列，整理计算得即，第9页（共13页）所以的中点为．将分别代入抛物线易得．所以所在直线方程为．17.（1）在中，因为，，由正弦定理，解得．（2）因为，又，所以，由余弦定理，得．解得或（舍）．．18.（1）取中点，连接，，因为是边长为的正三角形，所以，，又，所以，且．于是，从而．所以，而，所以．（2）连接交于，则为的中点，连接，当时，，所以是中点．由（）知，，两两垂直，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，第10页（共13页）则，，，，，，．设面的法向量为，由取．面的法向量是，所以．因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为．19.（1）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆.由，得.故曲线的方程为（2）证明：如图第11页（共13页）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得设，则，.从而当直线的斜率不存在时，得得综上，恒有为定值.20.（1）因为，所以，第12页（共13页）得，令，得．当时，，即在区间为单调递减，当时，，即在区间为单调递增，因此在处取得极小值．（2）由知，的极小值，于是对一切，恒有．从而当时，恒有，在内单调增加，又，所以当时，，故当时，恒有．21.（1）．所以，应该收集位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得所以该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率的估计值为．（3）每周平均运动时间与性别列联表如下：所以，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．22.（1）由得，（1）当时，直线为，其极坐标方程为和．（2）当时，消去参数得．又，所以直线是过原点且倾斜角为的直线，故，直线的极坐标方程为：和．综上所述，直线的极坐标方程为和．由得因为，，第13页（共13页）所以整理得，（2）设，，解方程组得，，即，解方程组得，，即，于是．23．解：（1）因为2222222,2,2ababbcbccaac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc.所以222111abcabc.（2）因为,,abc为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac=24.所以333()()()24abbcca.