兰州一中2015年高三冲刺数学(理)试题及答案

甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数学（理科）第I卷（选择题）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题1.设集合M=22|21xxy，N=2|yyx，则MN=()A.{（1,1）}B.{（-1,1），（1,1）}C.1,2D.2,22.设i是虚数单位，那么使得31()122ni的最小正整数n的值为（）A.2B.3C.4D.53.如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点（a，b）和圆C的位置关系是（）A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin2yx的图象，只需将函数πcos(2)3yx的图象（）A．向右平移π6个单位长度B．向左平移π6个单位长度C．向右平移π12个单位长度D．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143yx的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则11||||ABCD的值为（）A.18B.16C.1D.7126.已知ABC的外接圆半径为R，且BbaCARsin)2()sin(sin222（其中a，b分别是A，B的对边），那么角C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（）A.403cmB.503cmC.603cmD.803cm8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23的概率是（）A.1180B.1288C.1360D.14809.已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A.14B.24C.26D.21210.执行右图程序框图，如果输入的正实数x与输出的实数y满足y=x，则x=（）A.3B.132C.13D.113211.已知函数3yx在kxa时的切线和x轴交于1ka，若11a，则数列{}na的前n项和为（）A.1233nB.12()3nC.23()3nD.1233nn12.已知函数3,fxxmxxR，若方程fx=2在[4,4]x恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A.31,32B.313,2C.31,3,2D.31,3,2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在(x2+24x－4)5的展开式中含x4项的系数是___________.(用数字填写答案)14.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=5，点M，N满足AMAB，(1)ANAC，R，若2BNCM，则=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.xxyxy的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R上的奇函数fx的导函数满足()fxfx，且31fxfx，若2015fe，则不等式xfxe的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知点A(sin,1)，B(cos,0)，C(sin,2)，且ABBP.（Ⅰ）记函数()fBPCA，(,)82，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求||OAOB的值.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD为底的等腰三角形.新*课标*第*一*网（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）若四棱锥P—ABCD的体积等于32，试求PB与平面PCD所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力.假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(nNnn次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为Pn.（Ⅰ）求P2的值；（Ⅱ）当,2nNn时，试用Pn-1表示Pn；（Ⅲ）求Pn关于n的表达式.20.（本小题满分12分）已知椭圆C:222210yxabab的左右焦点1F，2F与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；ABCDP（Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线1FP的垂线1FM相交于点M，求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：11||||NFMF为定值.21.（本小题满分12分）已知函数()lnhxxx，2()(0)axax.（Ⅰ）求()()xagxtdt；（Ⅱ）设函数()()1fxhxgx，试确定()fx的单调区间及最大最小值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有111123!nneen成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且SBDS2，P为AC的中点．求证：（Ⅰ）30PBD；（Ⅱ）DCAD．23.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为123xtyt(t为参数).（Ⅰ）写出直线L的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换12xxyy得到曲线C，设M(x,y)为C上任意一点，求2232xxyy的最小值，并求相应的点M的坐标.24.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a，b，c满足a+b+c=6，求证：1111(1)(1)(1)2abbcca.SDAPCB甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案数学（理科）第I卷（选择题）一、选择题题号123456789101112答案DBACDBACCDDB第Ⅱ卷二、填空题13.-960；14.23；15.1255；16.1,．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）解：设P（x，y），由ABBP得OBOAOPOB，即(cossin,1)(cos,)xy，所以2cossin,1xy，亦即(2cossin,1)P；……………………2分（Ⅰ）()(sincos,1)(2sin,1)fBPCA22sin2sincos1sin2cos22sin(2)4；由(,)82得52(0,)44，所以，当2(0,)42即,88时，()f单调递减，且2()0f，当52,424即,82时，()f单调递增，且2()1f，故，函数()f的单调递减区间为,88，单调递增区间为,82，值域为2,1.……………………………………6分（Ⅱ）由O、P、C三点共线可知，OP∥OC，即(1)(sin)2(2cossin)，得4tan3，所以2||(sincos)122sincosOAOB222752sincos2tan22sincostan15…………………………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连PG，BG，CG；60PAPDPGADADPGBABADBGADDAB平面……………………………………5分（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD；在底面直角梯形ABCD中，由已知可得3BC，由32PABCDV，即311[123]322PG（），得3PG，而BG=CG=3，DG=1，在Rt△PGB、Rt△PGC、Rt△PGD中分别可求得PB=6、PC=6、PD=2，在△PCD中，2221cos24PDCDPCPDCPDCD，∴15sin4PDC，∴△PCD的面积151sin24PDCSPDCDPDC，设点B到平面PCD的距离为h，由PBCDBPCDVV得2155h，∴PB平面PCD所成角的正弦值为215101556hPB.……………………………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121；若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321故所求概率为.157103612P……………………………………4分（Ⅱ）第1n次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1nNnPn），则出现绿色背景的概率为11nP.PBPGB平面ADPBGABCDP若第1n次、第n次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311nP；若第1n次、第n次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1nP所以，53154)1(5331111nnnnPPPP（其中2,nNn）.……………………………………8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991nnPP（其中2,nNn）.故}199{nP是首项为381，公比为154的等比数列，所以).1,(199)154(3811nNnPnn……………………………………12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c=a=4，∴c=2，b=23；∴椭圆C的标准方程为2211612yx；……………………………………2分（Ⅱ）设00(,)Pxy，由（Ⅰ），1(2,0)F，设00(,)Pxy，(,)Mxy过椭圆C上过P的切线方程为：0011612xxyy，①直线1FP的斜率1002FPykx，则直线1MF的斜率1002MFxky，于是，则直线1MF的方程为：002(2)xyxy，即00(2)(2)yyxx，②①、②联立，解得x=-8，∴点M的轨迹方程为x=-8；……………………………………8分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为(8,)MMy、(2,)NNy，点N在切线MP上，由①式得003(8)2Nxyy，点M在直线1MF上，由②式得006(2)Mxyy，02022129(8)||4NxNFyy，022002221236[(2)]||[(2)(8)]MyxM