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平面向量———————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中不正确的是()A.a∥b⇔|a·b|=|a|·|b|B.|a|=a2C.a·b=a·c⇔b=cD.a·b≤|a|·|b|2.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形3.若A、B、C、D是平面内任意四点,给出下列式子:①+=+;②+=+;③-=+.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个4.已知正三角形ABC的边长为1,且=a,=b,则|a-b|=()A.3B.3C.2D.15.已知圆O的半径为a,A,B是其圆周上的两个三等分点,则·=()A.32a2B.-32a2C.32a2D.-32a26.在△ABC中,cos2B>cos2A是A>B的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若函数y=f(2x-1)+1的图象按向量a平移后的函数解析式为y=f(2x+1)-1,则向量a等于()A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D(1,-2)8.在△ABC中,已知向量=(cos18°,cos72°),=(2cos63°,2cos27°),则△ABC的面积等于()A.22B.24C.32D.29.已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论:①∥;②⊥;③+=;④=-2.其中正确结论的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个10.已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在()A.AC边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D.△ABC的内部11.已知A、B、C三点共线,O是这条直线外一点,设=a,=b,=c,且存在实数m,使ma-3b-c=0成立,则点A分的比为()A.-13B.-12C.13D.1212.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积:a⊗b=(a1,b1)⊗(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知m=2,12,n=π3,0,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为()A.2,πB.2,4πC.12,4πD.12,π第Ⅱ卷(非选择题共90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二171819202122得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知点P分有向线段的比为3,则P1分的比为______.14.已知向量a=(1,-3),b=(4,2),若a⊥(b+λa),其中λ∈R,则λ=________.15.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知a、b、c成等比数列,且cosB=34,若·=32,则a+c=________.16.设集合D={平面向量},定义在D上的映射f,满足对任意x∈D,均有f(x)=λx(λ∈R且λ≠0).若|a|=|b|且a、b不共线,则(f(a)-f(b))·(a+b)=________;若A(1,2),B(3,6),C(4,8),且f()=,则λ=________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且·=5,2=10.(1)求D点的坐标;(2)若D的横坐标小于零,试用,表示18.(本小题满分12分)设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2)(1)求证:a与b不共线,并求a与b的夹角的余弦值;(2)求c在a方向上的投影;(3)求λ1和λ2,使c=λ1a+λ2b.19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+b=5,c=7,且cos2C+2cos(A+B)=-32.(1)求角C的大小;(2)求△ABC的面积S.20.(本小题满分12分)在△ABC中,BC=5,AC=3,sinC=2sinA.(1)求AB的值;(2)求sin2A-π4的值.21.(本小题满分12分)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?22.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴正半轴上,直线AB的倾斜角为3π4,|OB|=2,设∠AOB=θ,θ∈π2,3π2.(1)用θ表示点B的坐标及|OA|;(2)若tanθ=-43,求O·O的值.答案:卷(五)一、选择题1.C对于选项C,当b、c不相等且都与a垂直时,a·b=a·c也成立,故C不正确,选C.2.A∵2c2=2a2+2b2+ab,∴a2+b2-c2=-12ab,∴cosC=a2+b2-c22ab=-14<0.则△ABC是钝角三角形.故选A.3.C①式的等价式是-=-,左边=+,右边=+,不一定相等;②式的等价式是-=-,+=+=成立;③式的等价式是-=+,=成立,故选C.4.A由题意知a与b的夹角为180°-60°=120°,∴a·b=|a||b|cos120°=-12,∴|a-b|2=a2+b2-2a·b=3,∴|a-b|=3.5.B结合图形易知两向量夹角为5π6,且||=a,||=3a,故·=||×||×cos5π6=-3a22.6.Ccos2B>cos2A⇔1-2sin2B>1-2sin2A⇔sin2B<sin2A⇔sinA>sinB⇔A>B.7.C设向量a=(h,k),y=f(2x-1)+1y=f[2(x-h)-1]+1+k=f(2x+1)-1,所以h=-1,k=-2.8.A由已知得=(cos18°,cos72°)=(cos18°,sin18°),B=(2cos63°,2cos27°)=(2sin27°,2cos27°),故cos,==2cos18°sin27°+sin18°cos27°1×2=cos45°,故,=45°,因此S△=12||×||×sin135°=22.9.D①由于=(-2,1),=(2,-1)⇒=-⇒∥,由共线向量基本定理易知命题正确;②·=(2,1)·(-2,1)=-3≠0,故命题错误;③+=(2,1)+(-2,1)=(0,2)=,命题正确;④=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),故命题正确,因此正确结论的个数共有3个,故选D.10.A由于=λ+⇒+=λ⇒=λ,根据共线向量的基本条件,则C、P、A三点共线,故选A11.C由已知得:=a-b,=c-a,设a-b=λ(c-a),即(λ+1)a-b-λc=0,∴3b=(3λ+3)a-3λc,又∵3b=ma-c,∴根据平面向量基本定理得3λ=1,即λ=13.故选C.12.C设P(x0,y0),Q(x,f(x)),则由已知得(x,f(x))=2x0+π3,12y0,即x=2x0+π3,∴x0=12x-π6.f(x)=12y0,∴y0=2f(x).又y0=sinx0,∴2f(x)=sin12x-π6,f(x)=12sin12x-π6.∴(f(x))max=12,T=2π12=4π.二、填空题13.【解析】∵P分有向线段的比为3,∴=3,如图,∴=-43【答案】-4314.【解析】∵a⊥(b+λa),∴a·(b+λa)=0.∴(1,-3)(4+λ,2-3λ)=0,即(4+λ)-3(2-3λ)=0.解得λ=15.【答案】1515.【解析】∵·=32,∴ac·cosB=32.又∵cosB=34,且a、b、c成等比数列,∴b2=ac=2.由余弦定理b2=a2+c2-2ac·cosB,得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,即a+c=3.【答案】316.【解析】∵|a|=|b|且a、b不共线,∴(f(a)-f(b))·(a+b)=(λa-λb)·(a+b)=λ(|a|2-|b|2)=0.∵=(1,2),∴f()=λ(1,2),=(2,4),∴λ=2.【答案】0,2三、解答题17.【解析】(1)设D(x,y),则=(1,2),=(x+1,y).∴·=x+1+2y=5,①2=(x+1)2+y2=10.②联立①②,解之得x=-2,y=3,或x=2,y=1.∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)因D点的坐标为(-2,3)时,=(1,2),=(-1,3),=(-2,1),设=m+n,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3).∴-2=m-n,1=2m+3n,∴m=-1,n=1.∴=-+.18.(1)【解析】证明:∵a=(-1,1),b=(4,3),-1×3≠1×4,∴a与b不共线,cosa,b=a·b|a||b|=-4+32·5=-210.(2)cos〈a,c〉=a·c|a||c|=-5-22·29=-75858,∴c在a方向上的投影为|c|cos〈a,c〉=-722.(3)∵c=λ1a+λ2b,∴5=-λ1+4λ2-2=λ1+3λ2,解得λ1=-237,λ2=37.19.【解析】(1)∵cos2C+2cos(A+B)=-32,∴2cos2C-1-2cosC=-32,∴cosC=12.∵0<C<180°,∴C=60°.(2)∵c2=a2+b2-2abcosC,∴7=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,∵a+b=5,∴7=25-3ab,∴ab=6,∴S=12absinC=12×6×32=332.20.【解析】(1)在△ABC中,根据正弦定理,ABsinC=BCsinA.于是AB=sinCsinABC=2BC=25.(2)在△ABC中,根据余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=255.于是sinA=1-cos2A=55.从而sin2A=2sinA·cosA=45,cos2A=cos2A-sin2A=35.所以sin2A-π4=sin2Acosπ4-cos2Asinπ4=210.21.【解析】(1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1,∴AB=3.在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC=33.在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,∴BC=AC2+AB2=332+32=303.则船的航行速度为303÷16=230(千米/时).(2)在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB=ABBC=3303=31010,sin∠CDA=sin(∠ACB-30°)=sin∠ACB·cos30°-cos∠ACB·sin30°=31010·32-12·1-310102=33-11020.由正弦定理得ADsin∠DCA=ACsin∠CDA.∴AD=AC·sin∠DCAsin∠CDA=33·3101033-11020=9+313.22.【解析】(1)由三角函数的定义得点B的坐标为(2cosθ,2sinθ),在△AOB中,|OB|=2,∠BAO=π4,∠B=π-π4-θ=3π4-θ由正弦定理,得|OB|sinπ4=|OA|sin∠B,即222=|OA|sin3π4-θ所以|OA|=22sin3π4-θ.(2)由(1)得O·O=|O|·|O|·cosθ=42sin3π4-θ·cosθ因
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