精-品-教-学-设-计4.2.3-函数建模案例

精品教学设计2.3函数建模案例一、教学目标:1.能根据数学建模的一般过程，把实际问题转化为数学问题。2.通过亲身实践数学建模，逐步培养学生的将数学知识应用到生产生活的实际中去，形成应用数学的意识，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。二、教学重点、难点：1.教学重点（1）实际问题抽象为数学问题的过程；（2）体验并亲身经历建模过程．2．教学难点（1）如何将实际问题抽象为数学问题；（2）如何选择数学模型。三、学法与教学用具：1.学法：学生通过亲身体验数学建模，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例问题提出现在许多家庭都以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是非常现实的问题.怎样烧开水最省燃气?省燃气的含义就是烧开一壶水的燃气用量少.一般来说，烧水时是通过燃气灶上的旋钮控制燃气流量的，流量随着旋钮位置的变化而变化.由此可见，燃气用量与旋钮的位置是函数关系.于是，问题就是：旋钮在什么位置时烧开一壶水的燃气用量最少?分析理解设想，当旋钮转角非常小时，燃气流量也非常小，甚至点火后的热量不足以将一壶水烧开，如果一直烧下去，燃气用量将无止境；随着旋钮转角增大，即燃气流量渐渐增大，烧水用气量则会有所减小.但是，旋钮转角很大时，燃气不一定充分燃烧，过分的热量不能充分作用于水壶，会产生浪费，烧一壶开水的燃气用量又会比较大.旋钮在什么角度用气量最小呢?我们不可能测出所有旋钮转角对应的燃气用量值，于是，试图经过实验测出几组数据，然后用这些数据拟合函数，得到所求.（二）数学建模一、建立数学模型解决问题的方案1.给定燃气灶和一只水壶.因为燃气灶关闭时，燃气旋钮的位置为竖直亢向，我们把这个位置定为0°；燃气开到最大时，旋钮转了90°.选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选一些更好)18°，36°，54°，72°，90°，见图4-12.2.在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量.3.利用数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析式.4.利用函数解析式求最小用气量.5.对结果的合理性作出检验分析.二、实验为了减少实验误差，要保证每次烧水时水壶的起始温度是一样的.所以，在做实验之前，先用这只水壶烧开一壶水，然后把水倒掉，随即开始做实验，记录相关数据，得到表4-4.表4-4燃气旋钮在不同位置时烧开一壶水所需燃气量燃气表开始时读数／m3燃气表水开时读数／m3所用燃气量／m318°9.0809.2100.13036°8.9589.0800.12254°8.8198.9580.13972°8.6708.8190.14990°8.4988.6700.172用表内数据，在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点(如图4—13).三、拟合函数从图4-13可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从大到小又从小到大的过程.在我们学习过的函数图像中，二次函数的图像与之最接近，可以用二次函数近似地表示这种变化.设函数式为2yaxbxc，取三对数据即可求出表达式的系数，不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程组22218180.13036360.12290900.172.abcxbcabc，，解得51.903310a，31.472210b，11.503310c.则函数式为52311.9033101.4722101.503310yxx.四、求最小用气量求燃气用量最少时的旋钮位置，实际上是求函数52311.9033101.4722101.503310yxx的最小值点0x.项目位置3051.47221039()221.903310bxa.即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转39°的位置.这时的用量大约是2513205441.9033101.503310(1.472210)441.903310acbya30.1218(m).五、检验分析取旋转39°的旋钮位置，烧一壶开水，所得实际用气量是不是0.1218m3？如果基本吻合，就可以依此作结论了.如果相差大，特别是这个用量大于0.122(实验数据中的最小值)，最小值点就肯定不是39°，说明三对数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直至结果与实际比较接近就可以了.实际上，我们从已知的五对数据可以看出，如果取(18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，函数的最小值点就小于36°。（三）注意的问题1.在这个建模中值得注意的是：(1)可以想像，当旋钮旋转的角度非常小，有一点点火时，其火力是不能够将水烧开的，长时间燃火的燃气量却可以非常大，也就是说，图4-13中贴近纵轴的点的位置会非常高，那么整个图像就不是二次函数图像了.实际上，我们在前面说“用二次函数图像近似地表示这种变化”是有局限性的，尽管是“近似地表示”，也只能说在18°～90°这个局部比较适用，而燃气最少用量恰在这个局部取得，于是选用二次函数模型是可行的.(2)在做实验时，每次烧水前的水壶温度真的完全一样吗?读数真的准确吗?我们在建立函数模型之前，主观上作了这样的假设：实验是足够准确的，所得的实验数据是精确的．另外，尽管假设每次实验是准确的，但是实验都受客观环境的影响，不能保证环境是稳定的．仅根据一组实验数据就建立数学模型可能与实际有较大误差，可以重复做几次实验，取几次实验数据的平均值，误差就减少了．2.研究怎样烧开水最省燃气的过程是：一、建立数学模型解决问题的方案二、实验三、拟合函数四、求最小用气量五、检验分析（四）抽象概括用数学的眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模．通过上例，可以用图4—14表示数学建模的过程．五．练习练习1某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍增长，如下表：时间（小时）0123细菌数（个）2004008001600问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有x小时0123y（个）2004008001600200＝200×20，400＝200×21，800＝200×22，1600＝200×23．从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y＝200·2x（x∈N）．此实验开始后5小时，即x＝5时，细菌数为200×25＝6400（个）．六．小结1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定的函数模型。2.根据收集到的数据，作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函数模型解决相应的问题。注意：用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此，往往需要对模型进行修正。3.数学建模时可以利用的函数模型：一次函数yaxb；二次函数2(0)yaxbxca；指数函数(0,1)xyaaa且；对数函数log(0,1)ayxaa且；幂函数ayx.七．作业1.课本130页练习2.课本134页C组1，2