2012上海市高考理科数学试题

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）一、填空题（56分）：1．计算：ii13（i为虚数单位）。2．若集合}012|{xxA，}2|1||{xxB，则BA。3．函数1sincos2)(　　　　　xxxf的值域是。4．若)1,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于。6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nVVV21，则)(lim21nnVVV。7．已知函数||)(axexf（a为常数）。若)(xf在区间),1[上是增函数，则a的取值范围是。8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为。9．已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f，若2)()(xfxg，则)1(g。10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6，若将l的极坐标方程写成)(f的形式，则)(f。11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。12．在平行四边形ABCD中，3A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是。13．已知函数)(xfy的图象是折线段ABC，其中)0,0(A、)5,21(B、)0,1(C，函数)(xxfy（10x）的图象与x轴围成的图形的面积为。14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2BC，若cAD2，且aCDACBDAB2，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是。二、选择题（20分）：15．若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则（）A．3,2cbB．3,2cbC．1,2cbD．1,2cb16．在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．设443211010xxxx，5510x，随机变量1取值54321xxxxx、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221xxxxxxxxxx、、、、的概率也均为2.0，若记21DD、分别为21、的方差，则（）A．21DDB．21DDC．21DDD．1D与2D的大小关系与4321xxxx、、、的取值有关18．设25sin1nnan，nnaaaS21，在10021,,,SSS中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点，已知2AB，22AD，2PA，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小。20．（6+8=14分）已知函数)1lg()(xxf．（1）若1)()21(0xfxf，求x的取值范围；（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg，求函数)(xgy（]2,1[x）的反函数。21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7．（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1C：1222yx．（1）过1C的左顶点引1C的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交1C于P、Q两点，若l与圆122yx相切，求证：OQOP；（3）设椭圆2C：1422yx，若M、N分别是1C、2C上的动点，且ONOM，求证：O到直线MN的距离是定值。23．（4+6+8=18分）对于数集}1{21nxxxX，，，，，其中nxxx210，2n，定义向量集},),,(|{XtXstsaaY，若对任意Ya1，存在Ya2，使得021aa，则称X具有性质P．例如}2,1,1{具有性质P．（1）若2x，且},2,1,1{x具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：X1，且当1nx时，11x；（3）若X具有性质P，且11x、qx2（q为常数），求有穷数列nxxx，，，21的通项公式。