二、找(或造)平行进行等积转换

二、找（或造）平行进行等积转换联想融通：同形状改变，面积不变的题目怎么做呢？解法归一：见到图形的等积转换题目用平行.即：在背景图形中，找到（或作出）平行线，再构造同底等高的三角形进行等积转化.注意：在大题中，常常是“照着做、用结论！”即：（1）前面怎么做，后面就怎么做；（2）化成前面问题中的图形或和前面问题类似的图形，再按前面的方法做；（3）后面用前面的结论.例2-2-1（老梁原创）探究规律如图2-2-1①，已知AB//MN,点C在MN上，请在直线AB的上方，找出一个不同于C的点D，画出△ABD，并使得△ABC使与△ABD的面积相等。（1）点D在____________，AB与CD的位置关系：________________；（2）△ABC与△ABD的面积相等的理由___________________________；解决问题（3）如图2-2-1②中，点B在线段FC上，在线段FC同侧作正方形ABCD及正方形EFBG，连接AC、EC、AE得到△AEC，如果设FB=a,BC=b,则△AEC的面积等于_____________;（4）你在图2-2-1③中作出一个和四边形ABCD面积相等的三角形，作法是：交流分享：本题的（1）知平行，直接根据同底等高面积相等找等积三角形；（2）③连BE后AC//BE，即可得△ABC与△ACE等积；④连BD分割出三角形，然后利用同底等高进行等积转换．体验与感悟2-21、如图2-2-2，以矩形ABCD的对角线BD为一边构造矩形BDEF，使得边EF过原矩形的顶点C.设Rt△CBD的面积为1S，Rt△BFC的面积为2S，Rt△DCE的面积为3S，则1S2S+3S（用“”、“=”、“”填空）.图2-2-2图2-2-32、如图2-2-3，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（）A、3B、2C、3D、23、已知正方形ABCD的边长为4，E是射线CD上的一个动点，以CE为一条直角边在正方形ABCD的右侧作等腰Rt△CEF．连接BF、FD、BD.观察计算（1）①如图2-2-4①，当CE=4时，S△BDF=____；（2）如图2-2-4②．当CE=2时，S△BDF=____；（3）如图2-2-4③，当CE=8时，S△BDF=____．图2-2-4①图2-2-4②图2-2-4③探索发现（4）BD与CF的位置关系是_____________；（5）△BDF的面积与正方形ABCD的面积关系是__________________；实际运用（6）农民赵大伯有一块正方形的土地ABCD（如图2-2-2④)，由于修路被占去一块三角形的地BCE，但决定在DE的右侧补给赵大伯一块，使补偿后的土地四边形ABMD与原地块面积相等．已知M、B、E三点在同一直线上，请你画图确定村点的位置，并用文字说明画法。联想拓展小明在完成上面的问题后悟到了其规律，于是出了下面的两个题目给同学们做.请你也试一试.（7）如图2-2-4⑤，已知大正方形ABCD和小正方形CEFG的边长分别是5和4，那么阴影部分的面积等于；图2-2-4⑤（8）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图2-2-4⑥所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为.图2-2-4⑥图2-2-54、在图2-2-5中的CM边上找一点F，使得直线EF左边的部分面积等于五边形ABCDE的面积.要求：直接在图2-2-5中画出相应的图形，不写画法.）5、如图2-2-6，已知线段AC=n+l（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=l时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3，…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n2时，1--nnSS=.图2-2-66、规律：如图2-2-7①，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点．C、P为直线m上的两点.如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到任何位置总有△ABP与△ABC的面积相等，其理由是:_____________________________________.图2-2-7①图2-2-6②图2-2-6③图2-2-6④应用（1）如图2-2-7②，△ABC和△CDE都是等边三角形，如果AB=1，则△ABE的面积为_______________；（2）如图2-2-7③，四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，如果AB=2．则△ACF的面积为____________；(3)如图2-2-7④，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，如果AB=a，求△ACH的面积（注本题结果用三角函数表示）．7．探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图2-2-8①，当点M与点B重合时，DCMS△=_________；（2）如图2-2-8②，当点M与点A、点B不重合时，DCMS△=_________；（3）如图2-2-8③，当点M在AB（或BA）的延长线上时，DCMS△=_________；图2-2-8①图2-2-8②图2-2-8③推广：如图2-2-8④，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积和，并简要说明理由．图2-2-7④图2-2-7⑤运用：如图2-2-8⑤，平行四边形ABCD是我市某广场的一块绿地，PQ、MN分别平行于DC、AD，交于点O，其中四边形AMOP的面积等于300，四边形MBQO的面积等于400，四边形NCQO的面积等于700.现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD（图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形（△MQD）区域的面积．提醒：请回味与感悟一下利用平行进行面积转换的技巧.联想融通：同形状改变，面积不变的题目怎么做呢？解法归一：见到图形的等积转换题目用平行.即：在背景图形中，找到（或作出）平行线，再构造同底等高的三角形进行等积转化.注意：在大题中，常常是“照着做、用结论！”即：（1）前面怎么做，后面就怎么做；（2）化成前面问题中的图形或和前面问题类似的图形，再按前面的方法做；（3）后面用前面的结论.例2-2-1（老梁原创）探究规律如图2-2-1①，已知AB//MN,点C在MN上，请在直线AB的上方，找出一个不同于C的点D，画出△ABD，并使得△ABC使与△ABD的面积相等。（1）点D在____________，AB与CD的位置关系：________________；（2）△ABC与△ABD的面积相等的理由___________________________；解决问题（3）如图2-2-1②中，点B在线段FC上，在线段FC同侧作正方形ABCD及正方形EFBG，连接AC、EC、AE得到△AEC，如果设FB=a,BC=b,则△AEC的面积等于_____________;（4）你在图2-2-1③中作出一个和四边形ABCD面积相等的三角形，作法是：交流分享：本题的（1）知平行，直接根据同底等高面积相等找等积三角形；（2）③连BE后AC//BE，即可得△ABC与△ACE等积；④连BD分割出三角形，然后利用同底等高进行等积转换．体验与感悟2-22、如图2-2-2，以矩形ABCD的对角线BD为一边构造矩形BDEF，使得边EF过原矩形的顶点C.设Rt△CBD的面积为1S，Rt△BFC的面积为2S，Rt△DCE的面积为3S，则1S2S+3S（用“”、“=”、“”填空）.图2-2-2图2-2-33、如图2-2-3，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（）A、3B、2C、3D、23、已知正方形ABCD的边长为4，E是射线CD上的一个动点，以CE为一条直角边在正方形ABCD的右侧作等腰Rt△CEF．连接BF、FD、BD.观察计算（1）①如图2-2-4①，当CE=4时，S△BDF=____；（2）如图2-2-4②．当CE=2时，S△BDF=____；（3）如图2-2-4③，当CE=8时，S△BDF=____．图2-2-4①图2-2-4②图2-2-4③探索发现（4）BD与CF的位置关系是_____________；（5）△BDF的面积与正方形ABCD的面积关系是__________________；实际运用（6）农民赵大伯有一块正方形的土地ABCD（如图2-2-2④)，由于修路被占去一块三角形的地BCE，但决定在DE的右侧补给赵大伯一块，使补偿后的土地四边形ABMD与原地块面积相等．已知M、B、E三点在同一直线上，请你画图确定村点的位置，并用文字说明画法。联想拓展小明在完成上面的问题后悟到了其规律，于是出了下面的两个题目给同学们做.请你也试一试.（8）如图2-2-4⑤，已知大正方形ABCD和小正方形CEFG的边长分别是5和4，那么阴影部分的面积等于；图2-2-4⑤（8）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图2-2-4⑥所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为.图2-2-4⑥图2-2-55、在图2-2-5中的CM边上找一点F，使得直线EF左边的部分面积等于五边形ABCDE的面积.要求：直接在图2-2-5中画出相应的图形，不写画法.）5、如图2-2-6，已知线段AC=n+l（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=l时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3，…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n2时，1--nnSS=.图2-2-66、规律：如图2-2-7①，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点．C、P为直线m上的两点.如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到任何位置总有△ABP与△ABC的面积相等，其理由是:_____________________________________.图2-2-7①图2-2-6②图2-2-6③图2-2-6④应用（1）如图2-2-7②，△ABC和△CDE都是等边三角形，如果AB=1，则△ABE的面积为_______________；（2）如图2-2-7③，四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，如果AB=2．则△ACF的面积为____________；(3)如图2-2-7④，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，如果AB=a，求△ACH的面积（注本题结果用三角函数表示）．7．探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图2-2-8①，当点M与点B重合时，DCMS△=_________；（2）如图2-2-8②，当点M与点A、点B不重合时，DCMS△=_________；（3）如图2-2-8③，当点M在AB（或BA）的延长线上时，DCMS△=_________；图2-2-8①图2-2-8②图2-2-8③推广：如图2-2-8④，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积和，并简要说明理由．图2-2-7④图2-2-7⑤运用：如图2-2-8⑤，平行四边形ABCD是我市某广场的一块绿地，PQ、MN分别平行于DC、AD，交于点O，其中四边形AMOP的面积等于300，四边形MBQO的面积等于400，四边形NCQO的面积等于700.现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD（图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形（△MQD）区域的面积．提醒：请回味与感悟一下利用平行进行面积转换的技巧.