高考数学（理）考点一遍过考点51,古典概型-之

高考数学（理）考点一遍过考点51,古典概型-之（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.一、基本事件在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.基本事件有如下特点：（1）任何两个基本事件是互斥的.（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.二、古典概型的概念及特点把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.三、古典概型的概率计算公式.四、必记结论（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的．考向一古典概型的概率求解1.求古典概型的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式，求出P(A)．2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件.基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法，具体应用时可根据需要灵活选择对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.典例1一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为从集合中取出三个不相同的数共有个,由题意知,凸数有132,231,143,341,243,342,342,243，共8个,所以这个三位数是“凸数”的概率为.选B．典例2某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取8人.(1)求样本容量的值和从高二抽取的人数；学#@(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率.1．从甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加志愿活动,则甲被选中的概率为A．B．C．D．2．中国农业银行已经开始为遍布全国大江南北的农行ATM机安装“刷脸取款”系统.某农行营业点为了解居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖问卷,从2021年度该行的客户(年龄在[25,55]内)中随机抽取100人填写调查问卷,按年龄分成6组,频数分布表如下(其中x∶y∶z=2∶4∶5),其中女客户年龄的茎叶图如图:年龄/岁[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55]频数5xyz1525(1)求x,y,z的值,若从抽取的男客户中随机选取1人,估计这个人的年龄恰在[45,50)内的概率;(2)若从年龄在[30,40)内的男客户中按照分层抽样的方法抽取6人进行满意度调查,再从中选取2人做进一步调查,求选取的2人的年龄均在[35,40)内的概率.考向二用随机模拟估计概率用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率.典例3已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为A．0.25B．0.30C．0.35D．0.40【答案】B【解析】由题意知,在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531,共6组随机数,所以所求概率为=0.30,故选B．3．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组如下的随机数:73270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．1．甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为A．B．C．D．2．现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为A．B．C．D．3．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,则这两个数都是奇数的概率是A．B．C．D．4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：137966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A．0.40B．0.30C．0.35D．0.255．某商场对某一商品搞活动,已知该商品的进价为3元/个,售价为8元/个,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示,则从这10天中随机抽取一天,其日利润不少于96元的概率为A．B．C．D．6．某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.从该车间6名工人中,任取2名,则至少有1名优秀工人的概率为A．B．C．D．7．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为,从集合中任取一个元素,则函数是增函数的概率为A．B．C．D．8．用三种不同的颜色给如图所示的两个矩形随机涂色,若每个矩形只涂一种颜色,那么这两个矩形颜色相同的概率是___________.9．某单位要在5名工人中安排2名分别到两地出差(每人被安排是等可能的),则甲、乙两人中恰巧有一人被安排的概率为___________.10．已知集合A={-2,3,5,7},从A中随机抽取两个不同的元素a,b,作为复数z=a+bi(i为虚数单位)的实部和虚部.则复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________.11．某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性).具有“宅”属性不具有“宅”属性男生2050女生1040采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则选取的3人中至少有1名女生的概率为___________.12．有编号为的10个零件,测量其直径(单位:),得到下面数据:编号直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间内的零件为一等品.(1)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;(2)从一等品零件中,随机抽取2个.(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果;(ii)求这个零件直径相等的概率.13．某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为这种说法正确吗?请说明理由.14．某科研单位积极推进科学创新，在解决某一技术难题的过程中，需要组建在结构设计和系统程序两方面强的人才小队，相关研究小组所有人员分别进行结构设计和系统程序两项综合考核，构成的频率分布直方图如图所示，单项综合成绩在[90,100]内的评为“优A”，且结构设计综合成绩在[80,90)内的人员有10人.(1)求系统程序综合成绩为“优A”的人数;(2)在两项综合考核中,恰有2人的两项综合考核成绩均为“优A”,在至少一项成绩为“优A”的人员中,随机抽取2人进行组队(项目负责人),求这2人的两项综合成绩均为“优A”的概率.15．某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按365计算)各抽取20名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在35分以下(不包括35分)的为需要加强训练的学生;35~75分之间的为需要提高训练的学生;75分以上(不包括75分)的为运动健儿.(1)以这20名学生的身体综合素质分来估计全校365名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生?(2)从两所学校共抽取的40名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取2名,求抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率.16．甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标机床甲81240328机床乙71840296（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元.假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；（3）从甲、乙机床生产的零件指标在内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.17．中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介,利用网络平台对年龄(单位:岁)在[20,60]内的人群进行了调查,并从参与调查者中随机选出600人,把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类,并制成如下表格:年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]性别男性女性男性女性男性女性男性女性人数4010120701601008020比较关注所占比例20%50%60%70%70%80%60%80%(1)填写列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关;比较关注不太关注总计男性女性总计(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况,采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈,最后从这6人中随机选出2名参与电视直播节目,求其中恰好有一名女性参与电视直播节目的概率.附:P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=,其中n=a+b+c+d.1．（2021新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同