高三下学期3月月考数学(理)试题

重庆南开中学2007级高三下学期3月月考数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总共三个大题，22个小题，总分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|2,x∈R}，全集U=R，则集合P∩（CUQ）=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{1}D．{—2，—1，0，1，2}2．已知,532sin则cos的值为（）A．257B．257C．54D．543．在等比数列{an}中，a5、a4、a6成等差数列，则公比q等于（）A．1或2B．－1或－2C．1或－2D．－1或24．函数)01(12xxy的反函数是（）A．)10(12xxyB．)01(12xxyC．)12(12xxyD．)10(12xxy5．函数54)(3xxxf的图象在x=1处的切线与圆22yx=50的位置关系为（）A．相切B．相交但不过圆心C．过圆心D．相离6．下列极限中，其值为2的是（）A．4326lim20xxxB．4326lim32xxxC．)131(lim21xxxxxD．])22(21641421[limnnx7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M、N分别是在AB1、BC1上，且AM=BN，下列四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1//MN；③MN//平面ABCD；④MN、AC为异面直线，其中正确的结论为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知正四面体S—ABC中，点E为SA的中点，点F为△ABC的中心，则异面直线EF、AB所成的角为（）A．4B．31arccosC．46arccosD．39．设定义域为R的函数,1,1,0,|1|1)(xxxxf若关于x的方程0)()(2cxbfxf有3个不同实数解232221321.,,xxxxxx则（）A．5B．2222bbC．13D．2223cc10．如图，△PAB所在平面和四边形ABCD所在的平面垂直，且AD⊥，BC⊥，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，则点P在平面内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分20070407D．抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知向量bakbka//),1,(),2,13(且，则实数k=.12．若实数x、y满足yxzyxxy则,0212的最大值是.13．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是.14．已知椭圆)0(12222babyax满足ba3，若离心率为e，则221ee的最小值为.15．若函数]2,(1)ln()(在xxaxf上这减函数，则实数a的取值范围是.16．已知函数oAxxf令点,11)(表示坐标原点，点*),))((,(NnnfnAn若向量,12110nnnAAAAAAa其中ian与与1=（1，0）的夹角，则)tantanlim(tan21n.三、解答题（共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（13分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对分别为a、b、c，若),2sin,2cos(AAm),2sin,2(cosAAn且.21nm（1）求角A；（2）若ABCcba求,4,32的面积.2007040718．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足.0,)1(412nnnaaS且（1）求{an}的通项公式；（2）令bn=20－an,问数列{bn}的前多少项的和最大？19．（13分）在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=CD、E、F、H分别是AB、PB、AD的中点，（1）证明：FH⊥面PCB；（2）求点A到平面EFH的距离.20．（12分）如图，ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，河流经过路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计），某公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN（如图），问如何施工才能使游乐园面积最大，并求出最大值.21．（12分）已知双曲线),0,0(1:2222babyaxC的离心率为2，焦点到渐近线的距离为32，点P的坐标为（0，－2），过P的直线l与双曲线C交于不同两点M、N.（1）求双曲线C的方程；（2）设PNOMOPOMt（O为坐标原点），求t的取值范围.22．（12分）已知函数),0()(是xf上每一点处可导的函数，若)()(xfxfx在),0(上恒成立.（1）证明函数xxfxg)()(在),0(上是单调递增函数；（2）用数学归纳法证明：对于任意的),3,2,1(0ixi)2)(()()()(2121nxxxfxfxfxfnn恒成立；（3）已知不等式01)1ln(xxxx且在时恒成立，求证：*)()2)(1(2)1(1ln)1(131ln3121ln21222222Nnnnnnn参考答案一、选择题AACDBCBDAA二、填空题11．112．213．2214．61315．21a16．1三、解答题17．解：（1）∵21),2sin,2(cos),2sin,2cos(nmAAnAAm且∴),,0(,21cos,212sin2cos22AAAA又即∴32A（2）由余弦定理得bccbbccbbccba222222)(120cos2代入4:,4,32bccba得∴ABCbcAbcSABC即,332sin21sin21的面积为3.18．解：（1）,3)1(41,1)1(412222112111aaaaaaSa当2n时，])1()1[(412121nnnnnaaSSa),(21)(411212nnnnaaaa由此得0))((11nnnnaaaa∵01nnaa∴21nnaa∴}{na是公差为2的等差数列.即}{na的通项公式为.12nan（2）bn=2n－1，易见b10，{bn}是递减数列令,021902211nbnbnn∴n=10，即{bn}是前10项和最大；（另解：求出{bn}的前n项和Tn=－n2+2n，可见当n=10时Tn最大）19．（1）证明：设PC的中点为G，因为FG21//21BCADDH所以四边形FGDH为平行四边形FH∥DG由PD⊥底面ABCDPD⊥BC，又BC⊥CDBC⊥面CDPBC⊥DG①所以PD=CD，DG⊥CP②，由①②得DG⊥面BCP，即FH⊥面PCB（2）解：连接AC、BD，设AC、BD交于O，AC、EH交于M，连接FM由M是AO的中点得：A到平面EFH的距离等于O到平面EFH的距离。显然：OF∥PD，即OF⊥面ABCD，过O作ON⊥FM交FM于N点。因为：AC⊥EH，OF⊥面ABCDOF⊥EH，所以EH⊥面AFC面AFC∩面EFH=FM，所以ON为所求的边长在三角形MOF中，易得：OF=2，MF=2，即ON=33220．解：M为原点，AB为y轴，以垂直于AB的直线x轴建立坐标系，由题意得点D的坐标为D（4，2），则抛物线的方程为xy2令P（t2，t），则,2||,4||,202tPQtPNt所以)20(842)4)(2()(232tttttttS求导得：0443,44322ttSttS令得函数S（t）的可疑点为2,32tt比较可疑点和端点的函数值得：S（t）的最大值为27256，答略。21．解：（1）,,2222cbaac由焦点到渐近线的距离等于32得：32b，a=2，所以双曲线方程为.112422yx（2）ONOMPMOMOPOMt设),,(),,(2211yxNyxM显然直线l的斜率存在，设为k3,40030164)3(:12322222222kkkkxxkyxkxy得316,34221221kxxkkxx4)(2)1()2)(2(212122121xxkxxkkxkxxxONOMt得：1252),3,4(34122222ttkkkkt或求得22．（1）证明：由)()()()()(:)()('2''xfxxfxxfxxfxgxxfxg由求导得可知0)()(0,0)('xxxfxgxxg在上恒成立，从而在是单调增函数（2）证明：①：当n=2时，由（1）知0)()(xxxfxg在是单调递增在22212111212121)()()()(0,0xxfxxxxfxxfxxxxfxx时，)()(),()(212122212111xxfxxxxfxxfxxxxf)()()(2121xxfxfxf两式相加得到：②设当n=k（k≥2，k∈N）时，)...()(...)()(2121kkxxxfxfxfxf当n=k+1时，)()...()()(...)()(121121kkkkxfxxxfxfxfxfxf)...(121kxxxf③对于任意的)...()(...)()(,...),,3,2,1(02121nnixxxfxfxfxfix恒成立（3）令函数f（x）=xlnx，易证f（x）满足题设条件，即：有)2)(...ln()...(ln...lnln21212211nxxxxxxxxxxxxnnnn恒成立令222212)1(1...3121...,)1(1nxxxSnxnnn记111)1(1...321211nnnSn2121)2)(1(1...431321nnnSn)....(11)111ln()....()...ln()...(21212121nnnnxxxnnxxxxxxxxxx（∵)2)(1(2)1121(11))1ln(nnnnnxx所以)2)(1(2)1(1ln)1(1ln31ln3121ln21222222nnnnn