高三数学新编立体几何内容分析及复习建议

高三数学新编立体几何内容分析及复习建议一、教材、考试要求的变化新教材立体几何内容变化较大，主要是删去了棱台、旋转体、球冠、多面体及旋转体体积等；增加了正多面体的概念，多面体的欧拉公式，最大变化是首次引入空间向量，并用这一工具去解决空间直线的平行、垂直关系，以及求空间的“距离”、“角”。从近几年的高考题来看，新教材的甲组题（即9B考题）比乙组题（即9A考题）和全国题都容易做。还有用向量方法去解部分传统的立体几何题也是有优势的，如2000、2003年全国高考立体几何题，普遍都认为较难，但如果用向量方法去解，就很简单了。因此，要重点掌握“空间向量”，并突出其“工具性”。二、立几题的空间向量解法分析利用空间向量解立几题，体现了空间的数形结合思想，顺应了几何改革代数化的方向；利用空间向量解立几题，首先应是确定基向量。即c,b,a或单位正交基底k,j,i。1、利用空间向量解线线平行、垂直问题【例1】（2003全国节选）正方体1111ABCDABCD中，,,MNP分别为1,,ADBBCD的中点，证明：1BD与平面MNP不垂直。分析：用传统方法证明1BD与MN不垂直，有难度；利用向量：)2,,2(),,,(aaaMNaaaBD，022222aaaMNBD，所以1BD与MN不垂直。【例2】（2003全国）如图，直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，090ACB，侧棱EDAA,,21分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离.简析：传统解法解此题难点一是重心G的运用，而用向量解：由)1,0,0(),0,,0(),0,0,(DaBaA很快得)31,3,3(aaG，C1B1A1GEDCBAPNMD1C1B1A1DCBA二是如何由条件求出AC的长，应用向量则由)32,6,6(aaEG与)1,0,(aAD垂直易得4,032622aa。2、利用空间向量解探索性问题对于立几中的探索性问题及存在性问题，用“形”解难度很大，而“数”中的待定系数法正好运用。【例3】(2000全国节选)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD=∠BCD=60。1CCCD当的值为多大时，能够使A1C⊥平面C1BD?请给出证明。解：设cCDbCCaCB,,1，ababc，则acBCcbaCA11,，当11BCCA时0202060cos60cos60cos)()(aacaacaccba060cos02acc，解得ca，所以1CCCD当=1时A1C⊥平面C1BD。【例4】（94全国节选）如图，已知111CBAABC是正三棱柱，D是AC的中点，11BCAB，求二面角CBCD1的度数。简析：此题学生很易作出二面角的平面角DFE，但用传统方法难以求出BC与1BB的长度关系；若用向量解：在如图坐标系下，设aBC，bBB1则)23,0,0(aA，)0,2,(1abB，)0,2,0(aB，)0,2,(1abC，)23,2,(1aabAB)0,,(1abBC，011BCAB得，00222ab，22ab，很快得出结论。3、利用平面的法向量求解角和距离问题当作平面的垂线难度较大时，可利用平面的法向量求解一些角和距离问题。如图，平D1A1ACBC1B1Dz0xyC1B1A1DCBAFEFEABCDPzyxBACDA1B1C1D1面的法向量为n，AB为平面的斜线，B为斜足，则AB与平面所成的角nBA,2；用向量在法向量上的投影公式易得：点A到平面的距离nnBAnBABAd,cos；当n与异面直线AC，BD都垂直时，nnBAd为异面直线AC，BD的距离公式。设二面角l，21,nn分别为平面,的法向量，则二面角l的大小为21,nn或它的补角。【例5】（教材习题）棱长为1的正方体1AC中，求面对角线DA1和1AB的距离。解：建立如图直角坐标系，则)1,0,1(1DA)1,1,0(1AB，设),,(zyxn，由nDA1，nAB1得,0,0zyzx令1x，则)1,1,1(n，又)1,0,0(1AA，所以nnAAd1333100。三、复习建议和能力要求第二轮复习侧重的应是解题能力的培养，尤其是读题能力、类比能力和转化能力；对于立体几何的能力培养，我认为应从以下几方面着手：1、重视已知条件与图形的对号入座解立几题一般需作好两个图，一是立体图，把已知条件中的线段长、角度值在图中标出，对于图形翻折、旋转等问题把折前及折后的长度、角度对应起来，往往发现解题思路或部分结论。二是用来计算的铅垂放置的平面图（解题关键图），利于正确运算。【例6】（2003汕头一模）已知ABCD是矩形，PC平面ABCD，aBCaCDPC2,，FE,分别是BCAD,的中点；（1）求证：二面角FDEA是直二面角；（2）求点B到平面DEF的距离。简析：依次标出已知条件得到aADPD2，aAFPF26，所以DEAP，EFAP，从而（1）得到证明，（2）也可利用B到平面DEF的距离为A到平面DEF的距离的一半得以很快解决。2、重视常见体在解题中的利用著名数学家波利亚指出：试着解决一个容易着手的简单问题，特殊的问题，类似的问题。立体几何中也是如此，一些具有特殊条件问题利用特殊体去解决能使解题简捷明快。如正四面体可在正方体中截得，三射线两两垂直、锐角在一个平面上的射影为直角时可在长方体里找到，空间四射线两两夹角相等可在正四面体找到等。【例7】（2003全国高考）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A．3πB．4πC．33D．6π简析：棱长为1的正方体1AC中，连接面对角线,,111BCCA111,,,BADCDABD得到四面体DBCA11各棱长为2，从而得到球直径为3。【例8】（教科书复习参考题九7B）CBAP,,,是球面上四点，PCPBPA,,两两垂直，且1PCPBPA，求球的体积和面积。3、重视常规思路在解题中的应用解立体几何题的一大难点是如何添加辅助线，而如何添加辅助线有一定规律。如：线段中点——用中位线；三角形等腰——底边上的中线垂直底边；两直线异面——平移为相交直线；具有面的垂线——用三垂线定理或逆定理；线面平行，面面垂直——用性质定理；同一点出发三直线两两垂直——建立空间直角坐标系等。这些常规通过讲练应使学生熟练掌握。4、重视解题思维习惯的形成养成良好的思维习惯，可避免小题大做，少走弯路。如求角度值时应：找角——作角——转移角——用向量计算nAB,cos；即先找现成的角，看看是否就是要求的角，不是的话试着作角，作角有难度的话通过平移转移角，实在不行用“数”解。类似的，求距离时应找高线——作高线——按比例转移——用向量计算等。总之，空间向量在立几中的应用，特别是用数量积求异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角；用向量在法向量上的投影求点到平面的距离，异面直线间的距离；用待定系数法求解立几开放题、探索题等。确实体现了它的强大功能。但不可否认，传统方法也有它的优越性，一旦空间的位置关系搞清楚了，计算量较小，正确率高。这“数”和“形”两条路应正确理解，合理选择。DB1C1BCAA1D1