高考数学数列的概念和运算测试

专题考案(2)数列板块第1课数列的概念和运算(时间：90分钟满分：100分)题型示例写出下面数列{an}的前5项:(1)a1=5,an=an-1+3(n≥2);(2)a1=1,an=an-1+11na(n≥2);(3)a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3).分析运用递推公式的定义解题.解(1)5,8,11,14,17;(2)1,2,25,1029,290941;(3)1,1,2,3,5.点评递推公式揭示一个数列相邻的两项或n项之间的关系，解题时应注意充分挖掘和发现这种关系的特征.一、选择题(7×4′＝28′)1．下列说法正确的是()A．数列｛an｝是等比数列的充要条件是an+1=anq(n∈N)B．数列a、b、c是等比数列的充要条件是b2＝ac且abc≠0C．等比数列｛an｝，当q1时，是递增数列D．任何两个实数都有等比中项2．已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列，则a2等于()A.-4B.-6C.-8D.-103．△ABC的三边a、b、c成等比数列，确定公比的取值范围是()A．(0，251)B.(251，+∞)C.(251，251)D.［1，251］4．已知a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为各项都大于零的数列，命题①a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8不是等比数列；命题②a1+a8a4+a5,则命题②是命题①的()A.充分且必要条件B.即不充分也不必要条件C.必要但不充分条件D.充分但不必要条件5．等差数列{an}中,公差d0,n≥2时,前n项和为Sn,则有()A.Sn≥na1B.Sn≤nanC.nanSnna1D.na1Snnan6．一个小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n次着地时，共经过了anm，n≥2，则有()A.an＝an-1+32100nB.an＝an-1+22100nC.an＝an-1+n2100D.an＝21an-1+22100n7．在等差数列{an}中,an≠0,an+1-a2n+an-1=0(n≥2),若S2n-1=38,则n的值是()A.38B.10C.20D.9二、填空题(4×3′＝12′)8．若x≠y，两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y分别成等差数列，那么1312bbaa＝.9．已知等差数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn，若99,132bannTSnn则.10．设Sn为数列{an}的前n项和，“若Sn=an2+bn+c,则{an}为等差数列”是真命题，记该命题的逆命题为P，否命题为Q，逆否命题为R，则P、Q、R中是真命题的有个.11．数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a5+a6+a7+a8.(n∈N)三、解答题(5×10′＝50′)12．设函数f(x)=log2x-logx2(0x1),数列{an}满足f(2an)=2n(n∈N).(1)求数列{an}的通项公式;(2)判定数列的单调性.13．在n1和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积.14．已知一个项数为偶数，首项为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个等比数列的公比q及项数n.15．数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=nn2Sn(n=1,2,3,…).证明：(1)数列{nSn}是等比数列;(2)Sn+1=4an.16．某工厂年度初借款A元，从该年度末开始，每年偿还一定金额x元，恰在n年内还清(包括借款的利息)，借款的年利率为r，求每年偿还的金额.四、思考与讨论(10′)17．对任意函数f(x),x∈D，可按图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去．现定义f(x)=124xx.(1)若输入x0=6549，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项(n∈N)；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值；(3)若输入x0时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xnxn+1，求x0的取值范围．参考答案1．Ban=0时，A、D均可排除，当a10，q1时｛an｝递减，排除C.2．B∵a1,a3,a4成等比数列,∴a23=a1·a4,∴(a2+2)2=(a2-2)(a2+4),∴a2=-6.3．C设三边为a，aq,aq2，若0q1，则aq+aq2a.∴251q1，若q1，则a+aqaq2，此时1q251，若q=1，符合，∴q∈（251，251）.4．D假设数列为等比数列,公比为q,则(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1-q3)(1-q4)≥0,故②①；假设数列为等差数列，则a1+a8=a4+a5,故①②,选D.5．C∵d0,∴a1a2a3…an,∴na1Snnan.6．Ban＝100+50×2+25×2＋…+100×(21)n-1×2(n≥2)＝100+2×211)211(501n＝300-200×121n，∴an-an-1＝200(221n-121n)＝2121002200nn，即an＝an-1＋22100n.7．B∵{an}为等差数列,∴an+1-a2n+an-1=2an-a2n=0.又an≠0,∴an=2.故等差数列每项均为2,则S2n-1=38=19×2.即2n-1=19,n=10.故选B.8．32d1＝.3221312,4,3142113122ddbbaaxydxyxy而9．26172617523411731722)(172)(17171717117199TSbbaaba.10．3逆命题“若{an}为等差数列，则Sn=an2+bn+c”为真命题，由四种命题原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，有P、Q、R都为真命题.11．52a5+a6+a7+a8=S8-S4=72-20=52．12．解(1)由已知得,f(x)=log2x-x2log1,∴f(2an)=log22an-na2log12=log22an-)2(logna2=an-na1=2n,a2n-2nan-1=0,解之得an=n±12n,因为0x1,所以02an1,an0,故an=n-12n(n∈N*);(2)因为1)1(1)1()1(1)1()1(22221nnnnnnnnaann1,而an0(n∈N),所以an+1an,故{an}是单调递增数列.点评运用函数与数列的关系解题，是高考中常考的一个知识点，要认真体会.13．解n+1＝n1qn+1qn+1＝n(n+1).设n个数之积为p,则p＝(n1)nq·q2·q3·…·qn，∴p＝(n1)nq1＋2＋…+n＝(n1)n·22)1()1()1(nnnnnnnq.14．解a2+a4+…+a2n＝170①a1+a3+…+a2n-1＝85②①÷②得q＝2，Sn＝21)21(1n＝255，∴2n＝256，n=8.15．分析（1）将已知递推关系式中an+1用Sn＋1－Sn表示，将其化为只含有和的关系式求解.(2)由（1）和已知结合，通过构造法即可得证.证明（1）∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=nn2Sn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得:nSn+1=2(n+1)Sn,所以nSnSnSnnn故,211是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知11nSn=4·11nSn(n≥2).于是Sn+1=4(n+1)·11nSn=4an(n≥2).又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4.因此对于任意正整数n≥1,都有Sn+1=4an.点评本题求证结论含有Sn,一般先用an+1=Sn+1-Sn公式把题中所给的关系式化为Sn的递推关系，这是本题一个灵活之处，考查了同学们的灵活运用所学知识的能力，而第二问又考查了分析问题的推理能力.16．解第一年年末欠款为A(1+r)-x，第二年年末欠款为［A(1+r)-x］(1+r)-x＝A(1+r)2-x［(1+r)+1］，…第n年年末欠款A(1+r)n-x［（1＋r）n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)+1］，由题意得A(1+r)n-x［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)+1］＝0，∴A(1+r)n=x·)1(1)1(1rrn，∴x=1)1()1(nnrrAr.17．解(1)∵f(x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)．当x0=6549时，x1=f(x0)=f(6549)=1911∈D．同理求得x2=f(x1)=51∈D，x3=f(x2)=-1D．∴数列{xn}只有三项:1911，51，-1.(2)由f(x)=x，即124xx=x,∴x2-3x+2=0，得x=1或x=2.∴当x0=1或x0=2时，xn+1=124nnxx=xn．因此，当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2,n∈N．(3)解不等式x124xx,得x-1或1x2.∵对任意正整数n均有xnxn+1，∴要使x1x2，则x1-1或1x12．对于函数f(x)=124xx=4-16x,若x1-1，则x2=f(x1)4;x3=f(x2)4x2，应排除．若1x12，则x2=f(x1)x1，且1x22．依此类推，可得数列{xn}的所有项均满足xn+1xn，由1x12，即112400xx2得x0∈(1,2)即为所求x0的取值范围．