高二数学复习题2

典型例题一例1若ba//，Acb，则a，c的位置关系是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体1111DCBAABCD中，设aBA11，bAB，则ba//．若设cBB1，则a与c相交．若设cBC，则a与c异面．故选D．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a，b相交，b，c相交，则a，c的位置关系是相交、平行或异面．类似地；a，b异面，b，c异面，则a，c的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2已知直线a和点A，A，求证：过点A有且只有一条直线和a平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性．．．命题，常用反证法．证明：（1）存在性．∵aA，∴a和A可确定一个平面，由平面几何知识知，在内存在着过点A和a平行的直线．（2）惟一性假设在空间过点A有两条直线b和c满足ab//和ac//．根据公理4，必有cb//与Acb矛盾，∴过点A有一条且只有一条直线和a平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．典型例题三例3如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且ADAHABAE，CDCGCBCF，求证：（1）当时，四边形EFGH是平行四边形；（2）当时，四边形EFGH是梯形．分析：只需利用空间等角定理证明FGEH//即可．证明：连结BD，在ABD中，ADAHABAE，∴BDEH//，且BDEH．在CBD中，CDCGCBCF，∴BDFG//，且BDFG．∴FGEH//，∴顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内．（1）当时，FGEH，故四边形EFGH为平行四边形；（2）当时，FGEH，故四边形EFGH是梯形．说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．特别地，当21时，E，F，G，H是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．如果再加上条件BDAC，这时，平行四边形EFGH是菱形．典型例题四例4已知ba、是两条异面直线，直线a上的两点BA、的距离为6，直线b上的两点DC、的距离为8，BDAC、的中点分别为NM、且5MN，求异面直线ba、所成的角．分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线ba、平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图，连结BC，并取BC的中点O，连结ONOM、，∵ONOM、分别是ABC和BCD的中位线，∴ABOM//，CDON//，即aOM//，bON//．∴ONOM、所成的锐角或直角是异面直线ba、所成的角．又∵6AB，8CD，∴3OM，4ON．在OMN中，又∵5MN，∴222MNONM，∴90MON．故异面直线ba、所成的角是90．说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点O一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．典型例题五例5已知四面体ABCS的所有棱长均为a．求：（1）异面直线ABSC、的公垂线段EF及EF的长；（2）异面直线EF和SA所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取ABSC、的中点FE、，连结CFSF、．由已知，得SAB≌CAB．∴CFSF，E是SC的中点，∴SCEF．同理可证ABEF∴EF是ABSC、的公垂线段．在SEFRt中，aSF23，aSE21．∴22SESFEFaaa22414322．（2）取AC的中点G，连结EG，则SAEG//．∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角．连结FG，在EFG中，aEG21，aGF21，aEF22．由余弦定理，得22222124142412cos222222aaaaaEFEGGFEFEGGEF．∴45GEF．故异面直线EF和SA所成的角为45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6如图所示，两个三角形ABC和'''CBA的对应顶点的连线'AA、'BB、'CC交于同一点O，且32'''OCCOOBBOOAAO．(1)证明：''//BAAB，''//CAAC，''//CBBC；(2)求'''CBAABCSS的值．分析：证两线平等当然可用平面几何的方法．而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明．证明：(1)当ABC和'''CBA在O点两侧时，如图甲∵'AA与'BB相交于O点，且OBBOOAAO''，∴''//BAAB（因为'AA、'BB共面）．同理''//CAAC，''//CBBC．(2)∵''//BAAB，且''//CAAC，AB和''BA，AC和''CA的方向相反，∴'''CABBAC，同理'''CBAABC．因此，ABC∽'''CBA．又32'''OAAOBAAB，∴94322'''CBAABCSS．当ABC和'''CBA在O点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)．说明：此题ABC与'''CBA是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明．典型例题七例7S是矩形ABCD所在平面外一点，BCSA，CDSB，SA与CD成60角，SD与BC成30角，aSA，求：(1)直线SA与CD的距离；(2)求直线SB与AD的距离．分析：要求出SA与CD、SB与AD的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离．解：如图所示，在矩形ABCD中，ADBC//．∵BCSA，∴ADSA．又ADCD，∴AD是异面直线SA、CD的公垂线段，其长度为异面直线SA、CD的距离．在SADRt中，∵SDA是SD与BC所成的角，∴30SDA．又aSA，∴aAD3．(2)在矩形ABCD中，CDAB//，ADSB，∴ABSB，又ADAB，∴AB是直线SB、AD的公垂线段，其长度为异面直线SB、AD的距离．在SABRt中，SAB是异面直线SA与CD所成的角，∴60SAB．又aSA，∴260cosaaAB，∴直线SB与AD的距离为2a．说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：①找（作）线段；②证线段是公垂线段；③求公垂线段的长度．(2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段．典型例题八例8a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，判断a与c的位置关系，并画图说明．分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语言的表达能力．解：直线a与c的位置关系有以下三种情形如图：∴直线a与c的位置关系可能平行（图中的(1)）；可能相交（如图中的(2)）；可能异面（图中的(3)）．说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力．典型例题九例9如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线（）．A．12对B．24对C．36对D．48对分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一规律，然后按此规律进行计数．正方体的各棱具有相同的位置关系．所以以一条棱为基量，考察与其异面的几对，问题可解．解：如图，正方体中与AB异面有CC1，DD1，11CB，11DA，∵各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算成本，∴异面直线共有242412对．说明：分析清楚几何体特点是避免重复计数的关键．计数问题必须避免盲目乱数，做到“不重不漏”．典型例题十例10如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，M、P是直线a上两点，N、Q分别是b，c上一点．求证：MN和PQ是异面直线．证法1：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为∵aPM、，PM、∴a．又aO，∴O．∵N且bO，bN，∴b．同理：C∴a，b，c共面于，与已知a，b，c不共面相矛盾，∴MN、PQ是异面直线．证法2：∵Oca，∴直线a，c确定一平面设为．∵aP，cQ，∴P，Q，∴PQ且M，PQM．又a，b，c不共面，bN，∴N，∴MN与PQ为异面直线．说明：证明两条直线异面的方法有两种．(1)用定义证明（即定义法）：此时需借反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可．(2)用定理证明（即定理法）：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件：a，A，aB，然后可以推导出直线a与AB是异面直线．典型例题十一例11已知平面与平面相交于直线l，A，B为直线l上的两点．在内作直线AC，在内作直线BD．求证AC和BD是异面直线．已知：平面平面=l，lA，lB，AC，BD，如图．求证：AC、BD是异面直线．证明：假设AC，BD不是异面直线，则它们必共面．∴A、B、C、D在同一平面内．即A、B、C所确定的平面与A、B、D确定的平面重合这与平面平面=l矛盾∴AC、BD是异面直线．说明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单．典型例题十二例12已知空间四边形ABCD，求证它的对角线AC和BD是异面直线．证法一：（反证法）如图假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内．∴A、B、C、D在同一平面内，即四边形ABCD是平面四边形，这与已知条件矛盾，所以假设不成立．因此AC和BD是异面直线．证法二：（定理法）过BC和CD作一平面，则对角线BD在平面内．对角线AC与平面交于BD外的一点C，即点C不在直线BD上，且A点在平面外．∴根据异面直线判定定理知：AC和BD是异面直线．说明：判定两条直线是异面直线的证明问题常用这两种方法，即(1)反证法，(2)用判定定理．典型例题十三例13已知空间四边形ABCD，ACAB，AE是ABC的BC边上的高，DF是BCD的BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E、F不重合，设BCD所在平面．∴DFEEADFAE和DF是异面直线．证法二：（反证法）若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为．(1)若E、F重合，则E是BC的中点，这与题设ACAB相矛盾．(2)若E、F不重合，∵EFB，EFC，EF，∴BC．∵A，D，∴A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾．综上，假设不成立．故AE和DF是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用．首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单