第六章《不等式》

普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第六章《不等式》一、选择题（共15题）1．（安徽卷）不等式112x的解集是（）A．(,2)B．(2,)C．(0,2)D．(,2)(2,)解：由112x得：112022xxx，即(2)0xx，故选D。2．（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（A）||||||cbcaba（B）aaaa1122（C）21||baba（D）aaaa213【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。【正确解答】运用排除法，C选项21baba，当a-b0时不成立。【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba3．（江西卷）若a0，b0，则不等式－b1xa等价于（）A．1b－x0或0x1aB.－1ax1bC.x-1a或x1bD.x1b－或x1a解：故选D4．（山东卷）设f(x)=1232,2,log(1),2,xexxx则不等式f(x)2的解集为(A)（1，2）（3，+∞）(B)（10，+∞）11bxb001xxba11axxa00xx1x0xxbx1011bxxx1ax01baxx0a＋＋－－－或－（＋）－或（－）或(C)（1，2）（10，+∞）(D)（1，2）解：令12xe2（x2），解得1x2。令23log(1)x2（x2）解得x（10，+∞）选C5．(陕西卷)已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8解析：不等式(x+y)(1axy)≥9对任意正实数x，y恒成立，则1yaxaxy≥21aa≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．6．(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1－a,则()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x，0a3，∴x1+x2=1－a∈(－2，1)，x1与x2的中点在(－1，21)之间，x1x2，∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，∴f(x1)f(x2)，选A．7．(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a0),若x1x2,x1+x2=0,则()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(a0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x，a0，∴x1+x2=0，x1与x2的中点为0，x1x2，∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，∴f(x1)f(x2)，选A．8．(陕西卷)设x,y为正数,则(x+y)(1x+4y)的最小值为()A.6B.9C.12D.15解析：x，y为正数，(x+y)(14xy)≥414yxxy≥9，选B.9．(上海卷)若关于x的不等式xk)1(2≤4k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）（A）2∈M，0∈M；（B）2M，0M；（C）2∈M，0M；（D）2M，0∈M．解：选（A）方法1：代入判断法，将2,0xx分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R；方法2：求出不等式的解集：xk)1(2≤4k＋4422min222455(1)2[(1)2]252111kxkxkkkk；10．(上海卷)如果0,0ab，那么，下列不等式中正确的是（）（A）11ab（B）ab（C）22ab（D）||||ab解：如果0,0ab，那么110,0ab，∴11ab，选A.11．（浙江卷）“a＞b＞c”是“ab＜222ba”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不允分也不必要条件【考点分析】本题考查平方不等式和充要条件，基础题。解析：由0ba能推出222baab；但反之不然，因此平方不等式的条件是Rba,。12．（浙江卷）“a＞0，b＞0”是“ab0”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不允分也不必要条件解：由“a＞0，b＞0”可推出“ab0”，反之不一定成立，选A13．(重庆卷)若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为（A）3-1(B)3+1(C)23+2(D)23-2解析：若,,0abc且()423,aabcbc所以2423aabacbc，2222211423(44422)(4442)44aabacbcaabacbcbcaabacbcbc≤∴22(232)(2)abc≤，则(2abc)≥232，选D.14．(重庆卷)若,,0abc且222412aabacbc，则abc的最小值是（A）23（B）3（C）2（D）3解：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋（b－c）212，当且仅当b＝c时取等号，故选A15．（上海春）若bacba,R、、，则下列不等式成立的是()（A）ba11.（B）22ba.（C）1122cbca.（D）||||cbca.解：应用间接排除法．取a=1,b=0，排除A.取a=0,b=-1，排除B;取c=0，排除D．故应该选C．显然，对不等式ab的两边同时乘以，立得成立．二、填空题（共6题）16．（江苏卷）不等式3)61(log2xx的解集为【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法【正确解答】1(6)822log3logxx，0〈168xx，12160xxxx.解得(322,322)1x【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.17．(上海卷)三个同学对问题“关于x的不等式2x＋25＋|3x－52x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是．解：由2x＋25＋|3x－52x|≥225,112|5|axxaxxxx，而2525210xxxx，等号当且仅当5[1,12]x时成立；且2|5|0xx，等号当且仅当5[1,12]x时成立；所以，2min25[|5|]10axxxx，等号当且仅当5[1,12]x时成立；故(,10]a；18．（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_______吨．解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044xx万元，40044xx≥160，当16004xx即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。19.（浙江卷）不等式102xx的解集是。.解：102xx（x＋1）（x－2）0x－1或x2.20.（上海春）不等式0121xx的解集是.解：应用结论：．不等式等价于(1-2x)(x+1)0，也就是，所以，从而应填．21.（上海春）已知直线l过点)1,2(P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于BA、两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为.解：设直线l为，则有关系．对应用２元均值不等式，得，即ab≥8．于是，△OAB面积为．从而应填4．三、解答题（共1题）22.（湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()污物质量物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81xx(1xa),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是yacya,其中(0.80.99)cc是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有0.81xx=0.99,解得x=19.由0.95c得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程:0.950.99,yaya解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与4a+3.因为当13,4(4)0,axzaxz时即,故方案乙的用水量较少.（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得545(1)cxc，(99100)yac（*）于是545(1)cxyc+(99100)ac1100(1)15(1)acac当a为定值时,12100(1)14515(1)xyacaaac,当且仅当1100(1)5(1)acc时等号成立.此时111()1(0.8,0.99),105105ccaa不合题意,舍去或将11105ca代入（*）式得2511,25.xaayaa故11105ca时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为25125aaa与,最少总用水量是()451Taaa.当'2513,()10aTaa时,故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a的值的最少总用水量,最少总用水量最少总用水量.