2006年高考第一轮复习数学复数(附答案)

素质能力检测（十五）一、选择题（每小题5分，共30分）1.如果复数2i1i2b（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于A.2B.32C.－32D.2解析：2i1i2b=52i)-i)(12(b=5i)4(22bb∴2－2b=b+4，b=－32.答案：C2.当32＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z对应的点为(3m－2，m－1)，∵32＜m＜1，∴0＜3m－2＜1，－31＜m－1＜0.答案：D3.在下列命题中，正确命题的个数为①两个复数不能比较大小;②z1、z2、z3∈C，若(z1－z2)2+(z2－z3)2=0，则z1=z3;③若(x2－1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1;④z为虚数的一个充要条件是z+z∈R;⑤若a、b是两个相等的实数，则(a－b)+(a+b)i是纯虚数;⑥复数z∈R的一个充要条件是z=z.A.0B.1C.2D.3解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z1、z2、z3不全是实数时不成立，如z1=i，z2=1+i，z3=1时满足条件，但z1≠z3;③错，当x=－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a=b=0时，原数是实数;⑥对.答案：B4.设f(n)=(i1i1)n+(i1i1)n(n∈Z)，则集合｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是A.1B.2C.3D.无穷多个解析：∵f(n)=in+(－i)n，∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0.∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝.答案：C5.已知复平面内的圆M：|z－2|=1，若11pp为纯虚数，则与复数p对应的点PA.必在圆M上B.必在圆M内C.必在圆M外D.不能确定解析：∵11pp为纯虚数，设为ki(k∈R，k≠0)，∴(1－ki)p=1+ki，取模得|p|=1且p≠1.∴选C.答案：C6.已知复数(x－2)+yi(x、y∈R)的模为3，则xy的最大值是A.23B.33C.21D.3解析：∵｜x－2+yi｜=3，∴(x－2)2+y2=3.xyOC∴(x，y)在以C(2，0)为圆心、以3为半径的圆上，如右图，由平面几何知识知3xy.答案：D二、填空题（每小题4分，共16分）7.已知M={1，2，(a2－3a－1)+(a2－5a－6)i}，N={－1，3}，M∩N={3}，实数a=_________.解析：按题意(a2－3a－1)+(a2－5a－6)i=3，∴.313,06522aaaa解得a=－1.答案：－18.复数z=2i)i)(13i)(2321(i)22i)(43(|－2i的模为_______________.解析：由复数的模的性质可知z=|i21||i3||i2321||i22||i43|－2i=52125－2i=5－2i，∴|z|=3.答案：39.若x、y∈R，且2x－1+i=y－(3－y)i，则x=__________，y=___________.解析：根据复数相等的定义求得.答案：25410.复数z满足z·z+z+z=3，则z对应点的轨迹是____________.解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆三、解答题(本大题共4小题，共54分)11.(12分)设复数z1、z2满足z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，2z－z1=2i，求z1和z2.解：∵2z－z1=2i，∴2z=z1+2i.∴z2=i21z，即z2=1z－2i.又∵z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，∴z1(1z－2i)+2iz1－2i(1z－2i)+1=0，即|1z|2－2i1z－3=0.令z1=a+bi(a、b∈R)，得a2+b2－2b－3－2ai=0，即.02,03222abba解得.1,03,0baba或∴z1=3i，z2=－5i或z1=－i，z2=－i.12.(14分)设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－icosθ(θ∈R)，求z的值和|z－ω|的取值范围.解：设z=a+bi(a、b∈R)，则z=a－bi，代入4z+2z=33+i，得4(a+bi)+2(a－bi)=33+i，即6a+2bi=33+i.∴,21,23ba∴z=2123i.|z－ω|=|23+21i－(sinθ－icosθ)|=22)cos21()sin23(=cossin32=)6πsin(2.∵－1≤sin(θ－6π)≤1，∴0≤2－2sin(θ－6π)≤4.∴0≤|z－ω|≤2.13.(14分)非零复数a、b、c满足ba=cb=ac，求cbacba的值.解：设ba=cb=ac=k，则a=bk，b=ck，c=ak，即c=ak，b=ak·k=ak2，a=ak2·k=ak3，∴k3=1.∴k=1或k=－21±23i.则cbacba=akakaakaka22=kkkk2211.若k=1，则原式=1;若k=－21+23i，则原式=－21－23i;若k=－21－23i，则原式=－21+23i.综上，cbacba的值分别为1，－21－23i，－1+23i.14.(14分)设复数z满足｜z｜=5，且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，｜2z－m｜=52(m∈R)，求z和m的值.解：设出z的代数形式z=x+yi(x、y∈R).∵｜z｜=5，∴x2+y2=25.∵(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x－4y)+(4x+3y)i，又(3+4i)z在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为相反数，∴3x－4y+4x+3y=0.化简得y=7x.将其代入x2+y2=25，得x=±22，y=±227.∴z=±(22+227i).则当z=22+227i时，｜2z－m｜=｜1+7i－m｜=52，即(1－m)2+72=50.解得m=0或m=2.当z=－(22+227i)时，同理可得m=0或m=－2.