08年高文科数学分类导数

11导数一、选择题1．（福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数/()yfx的图象可能是（A）2．（辽宁6）设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为（A）A．112，B．10，C．01，D．112，3．（全国Ⅰ4）曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为（B）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（全国Ⅱ7）设曲线2axy在点（1，a）处的切线与直线062yx平行，则a（A）A．1B．12C．12D．1二、填空题1．（北京13）如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff_________；2函数()fx在1x处的导数(1)f_________．22BCAyx1O345612342．（江苏14）13)(3xaxxf对于1,1x总有0)(xf成立，则a=4三、解答题1．（安徽20）（本小题满分12分）设函数323()(1)1,32afxxxaxa其中为实数。（Ⅰ）已知函数()fx在1x处取得极值，求a的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围。解:(1)'2()3(1)fxaxxa，由于函数()fx在1x时取得极值，所以'(1)0f即310,1aaa∴(2)方法一由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立设22()(2)2()gaaxxxaR,则对任意xR，()ga为单调递增函数()aR所以对任意(0,)a，()0ga恒成立的充分必要条件是(0)0g即220xx，20x∴于是x的取值范围是|20xx方法二由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立于是2222xxax对任意(0,)a都成立，即22202xxx20x∴于是x的取值范围是|20xx2．（北京17）（本小题共13分）已知函数32()3(0)fxxaxbxcb，且()()2gxfx是奇函数．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间．解：（Ⅰ）因为函数()()2gxfx为奇函数，所以，对任意的xR，()()gxgx，即()2()2fxfx．又32()3fxxaxbxc所以32323232xaxbxcxaxbxc．所以22aacc，．解得02ac，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32fxxbx．所以2()33(0)fxxbb．当0b时，由()0fx得xb．x变化时，()fx的变化情况如下表：x()b，b()bb，bb（，）()fx00所以，当0b时，函数()fx在()b，上单调递增，在()bb，上单调递减，在()b，上单调递增．当0b时，()0fx，所以函数()fx在()，上单调递增．3．(福建21)（本小题满分12分）已知函数32()2fxxmxnx的图象过点（-1，-6），且函数()()6gxfxx的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3,……①由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;而g(x)图象关于y轴对称，所以－3262m＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)0得0x2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),令f′(x)＝0得x=0或x=2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：X(-∞.0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；当1a3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.4．（宁夏21）（本小题满分12分）设函数()bfxaxx，曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为74120xy．（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值．21．解：（Ⅰ）方程74120xy可化为734yx．当2x时，12y．······················································································2分又2()bfxax，于是1222744baba，，解得13.ab，故3()fxxx．··························································································6分（Ⅱ）设00()Pxy，为曲线上任一点，由231yx知曲线在点00()Pxy，处的切线方程为002031()yyxxx，即00200331()yxxxxx．令0x得06yx，从而得切线与直线0x的交点坐标为060x，．令yx得02yxx，从而得切线与直线yx的交点坐标为00(22)xx，．············10分所以点00()Pxy，处的切线与直线0x，yx所围成的三角形面积为016262xx．故曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．··································································································12分5．（江西21）已知函数4322411()(0)43fxxaxaxaa（1）求函数()yfx的单调区间；（2）若函数()yfx的图像与直线1y恰有两个交点，求a的取值范围．解：（1）因为322()2(2)()fxxaxaxxxaxa令()0fx得1232,0,xaxxa由0a时，()fx在()0fx根的左右的符号如下表所示x(,2)a2a(2,0)a0(0,)aa(,)a()fx000()fx极小值极大值极小值所以()fx的递增区间为(2,0)(,)aa与()fx的递减区间为(2)(0)aa，与，（2）由（1）得到45()(2)3fxfaa极小值，47()()12fxfaa极小值4()(0)fxfa极大值要使()fx的图像与直线1y恰有两个交点，只要44571312aa或41a，即4127a或01a.6．（湖南21）已知函数43219()42fxxxxcx有三个极值点。（I）证明：275c；（II）若存在实数c，使函数)(xf在区间,2aa上单调递减，求a的取值范围。解：（I）因为函数43219()42fxxxxcx有三个极值点,所以32()390fxxxxc有三个互异的实根.设32()39,gxxxxc则2()3693(3)(1),gxxxxx当3x时，()0,gx()gx在(,3)上为增函数;当31x时，()0,gx()gx在(3,1)上为减函数;当1x时，()0,gx()gx在(1,)上为增函数;所以函数()gx在3x时取极大值,在1x时取极小值.当(3)0g或(1)0g时,()0gx最多只有两个不同实根.因为()0gx有三个不同实根,所以(3)0g且(1)0g.即2727270c,且1390c,解得27,c且5,c故275c.（II）由（I）的证明可知，当275c时,()fx有三个极值点.不妨设为123xxx，，（123xxx），则123()()()().fxxxxxxx所以()fx的单调递减区间是1(]x，,23[,]xx若)(xf在区间,2aa上单调递减，则,2aa1(]x，,或,2aa23[,]xx,若,2aa1(]x，,则12ax.由（I）知，13x,于是5.a若,2aa23[,]xx,则2ax且32ax.由（I）知，231.x又32()39,fxxxxc当27c时，2()(3)(3)fxxx;当5c时，2()(5)(1)fxxx.因此,当275c时，313.x所以3,a且23.a即31.a故5,a或31.a反之,当5,a或31a时，总可找到(27,5),c使函数)(xf在区间,2aa上单调递减.综上所述,a的取值范围是(5)(3,1)，.7．（辽宁22）（本小题满分14分）设函数322()31()fxaxbxaxabR，在1xx，2xx处取得极值，且122xx．（Ⅰ）若1a，求b的值，并求()fx的单调区间；（Ⅱ）若0a，求b的取值范围．解：22()323fxaxbxa．①·····································································2分（Ⅰ）当1a时，2()323fxxbx；由题意知12xx，为方程23230xbx的两根，所以2124363bxx．由122xx，得0b．···············································································4分从而2()31fxxx，2()333(1)(1)fxxxx．当(11)x，时，()0fx；当(1)(1)x∞，，∞时，()0fx．故()fx在(11)，单调递减，在(1)∞，，(1)，∞单调递增．·······························6分（Ⅱ）由①式及题意知12xx，为方程223230xbxa的两根，所以23124363baxxa．从而221229(1)xxbaa，由上式及题设知01a≤．·············································································8分考虑23()99gaaa，22()1827273gaaaa