08高考理科数学极限与导数复习

高考理科数学极限与导数复习（理）1考点回顾1.数学归纳法是证明关于自然数n(改为“与自然数n有关”)的命题的一种方法，在高中数学中有着非常重要的用途，是高考命题的热点内容之一。2.函数极限和数列极限仍然以选择题或填空题为主，主要考查基本计算，有时也在解答题的最后一问出现，中等或偏易的难度（文科不要求函数的极限）。3.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。4.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式问题等，是（改为“已成为”）高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。5.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。2经典例题剖析考点一：数学归纳法例1：设正数数列na的前n项和nS满足221nnaS。求321,,aaa，猜想na的通项公式，并用数学归纳法证明；设11nnnaab，数列nb的前n项和为nT，求nnTlim。解析：（1）由题设可求5,3,1321aaa，猜想数列na的通项公式为：*12Nnnan，下面用数学归纳法证明：①当1n时，显然成立；②假设当kn时，猜想成立，即12kak，那么当1kn时，由221121,21kkkkaSaS221221111411412121kkkkkkkaaaaSSa化简可得：0221221kkkkaaaa，即0211kkkkaaaa，kkaa1或21kkaa，又0na，21kkaa，即1122121kkak，所以，当1kn时，猜想成立。由①、②可知，对一切*Nn，有12nan。（2）由12nan，11nnnaab，则1211212112121nnnnbn121121121121715151313112121nnnbbbTnn所以21121121limlimnTnnn。答案：（1）证明见解析；（2）21点评：归纳、猜想、证明这一解题模式，是解决数列问题的常用方法，在证明过程中，要注意由n＝k到n＝k+1时，归纳假设的合理运用；另外，注意裂项项消法求和及常用的数列极限。考点二：数列的极限例4：已知数列na满足2,1,02121nnnaaaaa,求nnalim。解析：由221nnnaaa,得21122nnnnaaaa，∴数列12nnaa为常数列.∵2212aa,∴221nnaa，∴3221321nnaa，∴数列32na是公比为21,首项为32的等比数列.，∴1213232nna，∴1213232nna，∴32limnna。答案：32点评：本题主要考查特殊数列通项公式的求解和数列的极限。难点在于求出数列na的通项公式。考点三：函数的极限和连续性例5：设,021,00,02xxxbxxfx试确定b的值，使xfx0lim存在。解析：bbxxfxx2limlim00，221limlim00xxxxf，当且仅当2b时，有xfxfxx00limlim所以，当2b时，原函数极限存在。答案：2b点评：函数在某点处存在极限与函数在该点处连续的概念不同。存在极限只要求在该点处的左右极限相等；而在该点连续则还要求左右极限的值同时等于函数在该点处的函数值。例6：设,,11bxaxxxf00xx，（1）求xf；（2）求a的值使xf在0x处连续。解析：（1）当0x时，0xxxxf11；当0x时，0x，bxaxf。所以，,,11bxaxxxf00xx。（2）21111lim111lim11limlim0000xxxxxxxxf，axfx0lim。因为xf在0x处连续，则21a，此时210lim0fxfx。答案：（1）,,11bxaxxxf00xx；（2）21a点评：本题主要考查函数连续的概念，应和上一题进行对比。考点四：导数的概念及其运算例3：用定义求10,801610,542xxxxy在点10x处的导数。解析：分别求出xyx0lim在10x处的左右极限，222000044410164555limlimlimlim16165xxxxxxxxyxxxx1616lim801016801016limlim0200xxxxxxx16limlimlim000xyxyxyxxx，即16|'10xy。答案：16点评：导数的定义给出了求导的最基本的方法，如果用求导公式、法则都无法求导时，就要考虑用定义法去求导，本题是分段函数在分界点处的导数，只能用定义法去求，这时要注意，只有当左、右导数都存在且相等时，函数在这点的导数才是存在的。考点五：函数的最值与极值例2：求函数241)1ln()(xxxf在2,0上的最大值和最小值。解析：在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得,2111)(xxxf令,02111xx化简为,022xx解得21x（舍），12x。当)(,0)(,10xfxfx时单调递增；当)(,0)(,21xfxfx时单调递减。所以412ln)1(f为函数)(xf的极大值。又因为),2()1(,013ln)2(,0)0(ffff所以函数)(xf在2,0上的最小值为0)0(f，函数)(xf在2,0上的最大值为412ln)1(f。答案：最小值为0)0(f，最大值为412ln)1(f。点评：本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力。考点六：导数的应用例7：如果函数xfy的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数xfy在区间21,3内单调递增；②函数xfy在区间3,21内单调递减；③函数xfy在区间5,4内单调递增；④当2x时，函数xfy有极小值；⑤当21x时，函数xfy有极大值；则上述判断中正确的是________________。解析：由导函数图像可知，当2,x时，0'xf，所以xf在2,上为减函数，同理可知：xf在4,2上为减函数。xf在2,2和,4上为增函数。所以可以排除①和②，③是正确的。又由于函数xf在2x的左侧递增，右侧递减，所以2x时，函数有极大值；在21x左右两侧函数的导数均为正数，所以21x不是函数的极值点，从而排除④和⑤。答案：③点评：本题主要考查函数的单调性和极值与导数的关系，属于逆向思维的题目。例8：已知向量baxftxbxxa)(),,1(),1,(2若函数在区间1,1上是增函数，求t的取值范围。解析：解法1：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则，.0)()1,1(,)1,1()(xfxf上可设则在上是增函数在若,31)(,23)(,)1,1(,230)(22xxgxxxgxxtxf的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间开口向上的抛物线，故要使xxt232在区间（－1，1）上恒成立.5),1(tgt即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当xfxfxft5tt的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf2()32.fxxxt，()(1,1),(1,1)()0.fxfx若在上是增函数则在上可设)(xf的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(tftf，()(1,1)()0,()(1,1).fxfxfx在上满足即在上是增函数，5.tt故的取值范围是。答案：5t点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。例9：（07年海南理科）设函数2()ln()fxxax，（1）若当1x时，()fx取得极值，求a的值，并讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2．解析：（1）1()2fxxxa，依题意有(1)0f，故32a．从而2231(21)(1)()3322xxxxfxxx．()fx的定义域为32，∞，当312x时，()0fx；当112x时，()0fx；当12x时，()0fx．从而，()fx分别在区间31122，，，∞单调增加，在区间112，单调减少．（2）()fx的定义域为()a，∞，2221()xaxfxxa．方程22210xax的判别式248a．①若0，即22a，在()fx的定义域内()0fx，故()fx的极值．②若0，则2a或2a．若2a，(2)x，∞，2(21)()2xfxx．当22x时，()0fx，当22222x，，∞时，()0fx，所以()fx无极值．若2a，(2)x，∞，2(21)()02xfxx，()fx也无极值．③若0，即2a或2a，则22210xax有两个不同的实根2122aax，2222aax．当2a时，12xaxa，，从而()fx有()fx的定义域内没有零点，故()fx无极值．当2a时，1xa，2xa，()fx在()fx的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()fx在12xxxx，取得极值．综上，()fx存在极值时，a的取值范围为(2)，∞．()fx的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln11ln2ln22efxfxxaxxaxa．答案：（1）32a；（2）见详解。点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用。3方法总结与2008年高考预测（分析2008年高考命题趋势，对命题难度，内容，热点等作总结）（一）方法总结1.极限的概念和运算法则是微积分中最重要的工具，也是学好导数的基础。它是历年高考的重点考查内容，多与分类讨论相结合。通常与数列结合的题目要多一些，解答时要求先求出数列的通项公式或是前n项和公式再求极限。求函数的极限时，