椭圆的简单几何性质练习

椭圆的简单几何性质练习一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）1．如图8-7，点O是椭圆中心，F为焦点，A为顶点，准线l交x轴于B，P、Q在椭圆上且PD⊥l于D，QF⊥AO于F。关于曲线的离心率有如下数值：①||||PDPF，②||||BFQF，③||||BOAO，④||||BAAF，⑤||||AOFO。其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．52．一个圆的圆心在椭圆的右焦点2F上，且过椭圆的中心D（0，0），该圆与椭圆交于点P，设1F是椭圆的左焦点，直线1PF恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率是（）A．13B．32C．22D．233．过原点的椭圆的一个焦点为F（1，0），其长轴长为4，则另一个焦点的轨迹方程为（）A．922yxB．)3(922xyxC．)3(922xyxD．)3(922xyx4．点M与椭圆114416922yx的左焦点和右焦点的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为（）A．0252622xyxB．0252622xyxC．0252622xyxD．0252622xyx5．设点)3,2(A，F为椭圆1121622yx的右焦点，点M在该椭圆上移动，当|AM|+2|MF|取最小值时，点M的坐标是（）A．)32,0(B．)32,0(C．)3,32(D．)3,32(二、填空题6．一个椭圆的离心率为21，一个焦点为F（3，0），对应的准线为x-1=0，则这个椭圆的方程为__________。7．过椭圆15922yx的左焦点作一条长为12的弦AB，将椭圆绕着其左准线在空间旋转120°，则弦AB扫过的面积为_________。三、解答题8．过椭圆2222yx的一个焦点的直线交椭圆于A、B两点，求△AOB的面积的最大值（O为坐标原点）。9．已知椭圆12222byax（ab0），它的一条准线方程是x=1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A、B两点，设AB的中点为M，直线AB与OM的夹角为α（1）当tanα=2时，求椭圆的方程；（2）当2tanα3时，证明2132b。10．设椭圆的方程为12222nymx（m0，n0），过原点且倾斜角为θ和π-θ)20(两条直线分别交椭圆于A、C和B、D四点（1）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；（2）若m、n为定值，当θ在]4,0(上变化时，求S的最大值u；（3）如果umn，求nm的取值范围。答案与提示一、1．D2．A3．B4．C5．C二、6．035224322xyx7．6π三、8．提示：由题意椭圆焦点为（0，±1），设直线AB过焦点F（0，1），其方程为：y-1=kx，代入2222yx得012)2(22kxxk，设),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x为该方程的两根，由222221)2()2(4421||||21kkkxxOFSAOB22111222kk（当且仅当k=0时取等号），可知△AOB面积的最大值为229．提示：（1）由12ca得ca2，又222cccab∴椭圆方程为222)1(ccyxc将AB的方程y=x+m代入整理得02)2(222ccmmxxc∴)2)1(,2(ccmcmM于是1ckOM，由2|1111||1|tancckkkkOMABOMAB，得32c或c=--2（舍），于是所求椭圆方程为1292322yx（2）由（1）|2||1111|tancccc，又3|2|2cc，得3221c∴3241)21(22cccb，2141)21(22cccb即2132b10．提示：（1）设过原点倾斜角为θ的直线的方程为y=xtanθ，可得方程组1tan2222nymxxy又由对称性，得四边形ABCD为矩形，同时20，所以四边形ABCD的面积22222tantan4||4mnnmxyS（2）tantan42222nmnmSABCD。考虑函数tan)(tan)(2mnf在]4,0(的单调性。易证明xmnxxf2)()(在],0(mn上是减函数，在),[mn上是增函数，因此有：当mn时，mnSABCD2，此时mntan，u=2mn当mn时，22224nmnmu∴)0(4)0(22222nmnmnmmnmnu（3）当1nm时，u=2mnmn恒成立当1nm时，1422nmmnmnu，即有01)(4)(2nmnm，解得3232nm，又1nm，故),1()1,32(nm