高考数学数列综合问题测试

专题八数列综合问题1．数列{}na的前n项和为nS(*)nN，(1)nnSmma对于任意的*nN都成立，其中m为常数，且1m．⑴求证：数列{}na是等比数列；⑵记数列{}na的公比为q，设()qfm，若数列{}nb满足：11ba，1()nnbfb(2n，*)nN，求证：1nb是等差数列；⑶在⑵的条件下，设1nnncbb，数列{}nc的前n项和为nT，求证：1nT．2．已知等差数列{}na的前9项的和为153．⑴数列{}na中是否存在确定的项，若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由；⑵若28a，2nanb，求数列{}nb的前n项的积nT；⑶若从数列{}na中，依次取出第二项、第四项、第八项、…、第2n项，按原来的顺序组成新的数列{}nc，求数列{}nc的前n项的和nS．3．已知数列}{na的前n项和为nS，且22nnSa(1,2,3,)n，数列{}nb中，11b，点1(,)nnPbb在直线20xy上．⑴求数列}{na，}{nb的通项na，nb；⑵若nT为数列}{nb的前n项和，证明：当2n时，nTSnn32．4．已知数列{}na满足:11a,1122nnnannaann为奇数为偶数．⑴求2a，3a；⑵当2n时，求22na与2na的关系式，并求数列{}na中偶数项的通项公式；⑶数列{}na前100项中所有奇数项的和．1．证明：（1）当n=1时，111SannmamS)1(①)2()1(11nmamSnn②①－②得：)2(1nmamaannn01,0,1,0)1(111mamamaamnnn)2(11nmmaann∴数列}{na是首项为1，公比数1mm的等比数列.（2）1)(11)(11111nnnnbbbfbabmmmf)2(11111111nbbbbbnnnnn∴数列{nb1}是首项为1，公差为1的等差数列.（3）由（2）得nb1n则nbn1)1(11nnbbcnnn111413131212111)1(1321211nnnnTn1111n17．（Ⅰ）解：由已知),2(22,2211naSaSnnnn又)2(1naSSnnn所以，122nnnaaa，所以，),2(21naann即数列}{na是等比数列.因为nnaaaaSa2.2,22,11111所以所以因为点P（bn，bn+1）在直线x－y+2=0上，所以bn－bn+1+2=0，所以bn+1－bn=2，即数列{bn}是等差数列.又，b1=1，所以12nbn（Ⅱ）证明：由已知,2221)21(21nnnS,)121(22nnnTn即证明不等式),2(43222nnnn（1）当n=2时，2n+2=16，n2+3n+4=14，不等成立.（2）假设当n=k时，不等式成立，即2k+2k2+3k+4成立，那么，当n=k+1时，862223kkk，以下只须证明4)1(3)1(86222kkkk成立，即只须证明k2+k≥0成立，因为当k≥2时，k2+k≥0成立，所以当n=k+1时，不等式43222nnn成立综合（1）（2），原不等式成立.4.(1)a2=2,3352a(2)a2n-2+1=a2n-2-2(2n-2)即a2n-1=a2n-2-2(2n-2)a2n-1+1=12a2n-1+(2n-1)即a2n=12a2n-2-(2n-2)+(2n-1)∴a2n-2=12(a2n-2-2);∴a2n=-(12)n+2(n∈N*)(3)∵当n=2k时，a2k+1=a2k-2×2k.(k=1,2，…，49)∴叠加可得所有奇数项的和：1-2×（2+4+…+98）+a2+a4+…+a98=(12)49-4802