高考数学普通高等学校春季招生考试10

高考数学普通高等学校春季招生考试10本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第1卷1至2页．第Ⅱ卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（择题共50分）注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考入将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[sin(21coscos)]cos()[cos(21sinsin正棱台、圆台的侧面积公式lccS)'(21台侧其中c'，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式334RV球其中R表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在函数y=sin2x，y=sinx，y=cosx，2tanxy中，最小正周期为的函数是（A）y=sin2x（B）y=sinx（C）y=cosx（D）2tanxy（2）当132m时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）双曲线19422yx的渐近线方程是（A）xy23（B）xy32（C）xy49（D）xy94（4）一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°（5）在极坐标系中，圆心在（2，）且过极点的圆的方程为（A）cos22（B）cos22（C）sin22（D）sin22（6）已知sin(+)0，cos(－)0，则下列不等关系中必定成立的是（A）2cot2tan（B）2cot2tan（C）2cos2sin（D）2cos2sin（7）已知三个不等式：ab0，bc－ad0，0bdac（其中a，b，c，d均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3（8）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体．在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（A）77cm（B）27cm（C）55cm（D）210cm（9）在100件产品中有6件次品．现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（A）29416CC（B）29916CC（C）3943100CC（D）3943100CP（10）期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M．如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为（A）4140（B）1（C）4041（D）2第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（11）若f－1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f－1(x)的值域是．（12）cos)30sin()30sin(值为．（13）据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为吨，2008年的垃圾量为吨．（14）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m，n满足的关系式为；以(m，n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆13722yx的公共点有个．三．解答题：本大题共6小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）当0a1时，解关于x的不等式212xxaa．（16）（本小题满分13分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长．已知a，b，c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及cBbsin的值．（17）（本小题满分15分）如图，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，3SB．（Ⅰ）求证BC⊥SC；（Ⅱ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（Ⅲ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．（18）（本小题满分15分）已知点A(2，8)，B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）．（Ⅰ）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（Ⅱ）求线段BC中点M的坐标；（Ⅲ）求BC所在直线的方程．（19）（本小题满分14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（Ⅱ）设—次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；（Ⅲ）当销售商—次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出—个零件的利润=实际出厂单价－成本）（20）（本小题满分14分）下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）…a1j…712（）（）（）…a2j…（）（）（）（）（）…a3j…（）（）（）（）（）…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．（Ⅰ）写出a45的值；（Ⅱ）写出aij的计算公式；（Ⅲ）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．高考数学普通高等学校春季招生考试10参考解答一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分．（1）A（2）D（3）A（4）C（5）B（6）B（7）D（8）C（9）C（10）B二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（11）（－1，－∞）（12）1（13）a(1+b)a(1+b)5（14）0m2+n232三．解答题：本大题共6小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）本小题主要考查不等式的解法、指数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力．满分13分．解：由0a1，原不等式可化为.212xx这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集：;02,012xx①或.)2(12,02,0122xxxx②解不等式组①得解集},221|{xx解不等式组②得解集},52|{xx所以原不等式的解集为},521|{xx（16）本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．满分13分．解：（Ⅰ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac．又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc．在△ABC中，由余弦定理得,2122cos222bcbcbcacbA∴∠A=60°．（Ⅱ）解法一：在△ABC中，由正弦定理得.sinsinaAbB∵b2=ac，∠A=60°，∴.2360sin60sinsin2cabcBb解法二：在△ABC中，由面积公式得.sin21sin21BacAbc∵b2=ac，∠A=60°，bcsinA=b2sinB，.23sinsinAcBb（17）本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分15分．（Ⅰ）证法一：如图1，∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC⊥SC．证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．（Ⅱ）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，可以把四棱锥S－ABCD补形为长方体A1B1C1S－ABCD，如图2．而ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，∵SC⊥BC，BC//A1S，∴SC⊥A1S，又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角．在Rt△SCB中，由勾股定理得,2SC在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1．∴∠CSD=45°．即面ASD与面BSC所成的二面角为45°．解法二：如图3，过点S作直线l//AD，∴l在面ASD上，∵底面ABCD为正方形，∴l//AD//BC，∴l在面BSC上，∴l为面ASD与面BSC的交线．∵SD⊥AD，BC⊥SC，∴l⊥SD，l⊥SC，∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角．（以下同解法一）（Ⅲ）解法一：如图3，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形．又M是斜边SA的中点，∴DM⊥SA．∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影．由三垂线定理得DM⊥SB．∴异面直线DM与SB所成的角为90°．解法二：如图4，取AB中点P，连结MP，DP．在△ABS中，由中位线定理得MP//SB，∴∠DMP是异面直线DM与SB所成的角．∵,2321SBMP又,25)21(1,222DPDM∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，∴∠DMP=90°．∴异面直线DM与SB所成的角为90°．（18）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．满分15分．解：（Ⅰ）由点A(2,8)在抛物线y2=2px上，有82=2p·2，解得p=16．所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为(8,0)．（Ⅱ）如图，由于F(8,0)是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且.2FMAM设点M的坐标为（x0，y0），则,02128,8212200yx解得x0=11，y0=－4，所以点M的坐标为（11，－4）．（Ⅲ）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．设BC所在直线的方程为y+4=k(x－1)(k≠0)．由xyxky32),11(42消x得ky2－32y－32(11k+4)=0，所以.3221kyy由（Ⅱ）的结论得4221yy，解得k=－4．因此BC所在直线的方程为y+4=－4(x－11)，即4x+y－40=0．（19）本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分15分.解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则.55002.051601000x因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．（Ⅱ）当1000x时，;60P当100x550时，5062)100(02.060xxP；当550x时，P=51．所以550,51)N.(50010,5062,1000,60)(xxxxxxfP（Ⅱ）设销售的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则.550,11.500100,5022,1000,20)40(2xxxxxxxxPL（Nx）当x＝500时，L＝6000；当x=1000时，L=11000.因此，当销售商一次订购了500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．（20）本小题主要考查等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）