高考数学复习推理与证明变式题

高考数学复习推理与证明变式题一、合情推理1．人教A版选修2-2第79页例1：已知数列na的第1项11a，且11nnnaaa(1,2,)n，试归纳出这个数列的通项公式．变式1：已知数列na的第1项11a，且112nnnaaa(1,2,)n，试归纳出这个数列的通项公式．解：213a，315a，…，一般地有121nan；本题也可以直接求出通项公式．由112nnnaaa得，112112nnnnaaaa，即1112nnaa，所以数列1na是首项为11a，公差为2的等差数列，则1112(1)nnaa，而11a，则121nan．理科学生还可以先归纳，提出猜想，然后用数学归纳法证明．变式2：已知数列na的第1项11a，且122nnnaaa(1,2,)n，试归纳出这个数列的通项公式．解：223a，324a，…，一般地有21nan；本题也可以直接求出通项公式．由122nnnaaa得，1211122nnnnaaaa，即11112nnaa，所以数列1na是首项为11a，公差为12的等差数列，则1111(1)2nnaa，而11a，则21nan．由变式（1）、变式（2）你能总结出什么规律？对满足1nnnaaabca(0)abc型的数列na，当ab时采取取倒数的方法即可得出数列1na是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列na的通项．变式3：（2005年高考湖南卷）已知数列na的第1项10a，且1313nnnaaa(1,2,)n，则20aA．0B．3C．3D．32解法1：由于1313nnnaaa，10a，则23a，33a，40a，由此归纳出数列na是以3为周期的数列，则2063223aaa，选B．解法2：1313nnnaaa，令tannna，则1tantan()3nn，则13nnk，即13nnk，20119()3k，而10，则2021973k，2020tan3a；变式4：（2007年广州市高考二模）已知数列na满足12a，111nnnaaa（*nN），则3a的值为，1232007aaaa的值为．【思路1】分别求出23a、312a、413a、52a，可以发现51aa，且12341aaaa，故1232007aaaa2005200620071233aaaaaa．【思路2】由111nnnaaa，联想到两角和的正切公式，设12tana，则有2tan4a，3tan2a，43tan4a，51tanaa，……．则12341aaaa，故1232007aaaa2005200620071233aaaaaa．DOCBAS从以上变式3到变式5，你能受到什么启发呢？结构与两角和或差正切公式相似，这样的数列一定是周期数列．2．人教A版选修2-2第83页例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．变式1：直角三角形与直角四面体的性质类比以上结论的证明如下：（1）由题设SA，SB，SC两两垂直，则三角形SBC为直角三角形，则斜边BC边上的高SD在三角形SBC内，即点D在BC上，连结AD，则BC⊥平面SAD，则平面ABC⊥平面ASD，过点S在面SAD内作SOAD于O，则SO⊥平面ABC，即点S在平面ABC的射影为O；平面内直角三角形的性质空间中直角四面体的性质DCBA在ΔABC中，∠BCA=900，点C在AB上的射影为D，则有下列结论:(1)点D在线段AB上．(2)ABAC,ABBC,即直角三角形三边中斜边最长.(3)射影定理:AC2=ADAB,CB2=DBAB,CD2=ADDB(4)222111CDACCBoCBAS在四面体SABC中，三个平面SAB、平面SBC、平面SAC两两垂直，点S在底面上的射影为O,则有类似结论:(1)点O在ΔABC内．(2)ΔABC，ΔABS，ΔSBC，ΔASC中，ΔABC的面积最大；(3)2SABOABABCSSS2SACOACABCSSS2SBCOBCABCSSS(4)22221111SOSASBSC由于三角形SAD为直角三角形，则斜边AD上的高的垂足O在线段AD上，即O在三角形ABC内．（2）由于12SBCSBCSD，12ABCSBCAD，∵SAD为直角三角形，则斜边ADSD，故ABCSBCSS；同理可证：ABCSBASS，ABCSACSS．（3）22214SBCSBCSD，而在直角三角形ASD中，2SDADDO，∴222211114422SBCSBCSDBCADDOBCADBCDO，因此2SBCOBCABCSSS．，同理可证2SACOACABCSSS，2SABOABABCSSS．（4）在直角三角形SAD中，由于SOAD于O，则222111SOSASD，在直角三角形SBC中，由于SDBC于D，则222111SDSBSC，因此22221111SOSASBSC．变式2：平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比以上性质，限于篇幅，不再一一证明．变式3：平面内三角形与空间中的三棱柱性质类比三角形三棱柱三角形的三个内角之和为180三棱柱的任意两个侧面所成的三个二面角之和为180．三角形四面体三角形两边之和大于第三边.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心.四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心．三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半.四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的14,且该三角形所在平面平行于第四个面.三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分.四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分．三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：1.将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1在ΔABC中，A的平分线交BC于D，则ABBDACDC；在四面体ABCD中，二面角C-AB-D的平分面交棱CD于点E，则，BCEABCBDEABDSSSS；在ΔABC中，abcsinAsinBsinC（正弦定理）在四面体ABCD中，棱AB与面ACD、BCD的夹角分别，，则BCDACDSSsinsin设ΔABC的三边长分别为a、b、c，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，外接圆半径为R，则（1）2Srabc（2）2Rr四面体S—ABCD的四个侧面的面积分别为1S，2S，3S，4S，内切球的半径为r，外接球的半径为R，则（1）12343VrSSSS（2）3RrOHGFACA1C1DEB1BGBB1FEDC1A1CA三角形中任意两个两边之和大于第三边三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积三角形中较大的边所对的角较大；反之，较大的角所对的边也较大．三棱柱中面积较大的侧面所对的二面角较大；反之，较大的二面角所对的侧面的面积也较大．三角形中位线定理：三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半．经过三棱柱ABC-A1B1C1的棱A1C1、B1C1、BC中点D、E、F的平面与侧面A1B1BA平行，且该平面被三棱柱ABC-A1B1C1所截得的四边形DEFG的面积是侧面A1B1BA面积的12．三角形内角平分线定理：在ΔABC中，A的平分线交BC于D，则ABBDACDC．在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面BB1GH平分面角A—BB1—C1，则111111AAHGAABBGHCCBBCCSSSS四边形四边形四边形四边形正弦定理：在ΔABC中，有abcsinAsinBsinC如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B—CC1—A所成的二面角分别为、、，则有111111BBCCAACCBBCCSSSsinsinsinBB1FEDC1A1CA图4NMPC1B1A1CBA余弦定理：在ΔABC中，有2222bacaccosB2222abcbccosA2222cababcosC在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B—CC1—A所成的二面角分别为、、，则11111111112222BBCCAACCAABBAACCAABBSSSSScos11111111112222AACCBBCCAABBBBCCAABBSSSSScos11111111112222BBAAAACCCCBBAACCCCBBSSSSScos三角形的面积为12aSah在三棱柱ABC—A1B1C1中，棱CC1到侧面A1ABB1的距离为h，则三棱柱ABC—A1B1C1的体积为1112AABBVSh侧面．以上性质证明的关键是构造直截面（与侧棱垂直的截面），转化为平面问题，以正弦定理的拓广为例，其余的类似证明．（6）如图4，在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B—CC1—A所成的二面角分别为、、，则111111BBCCAACCBBCCSSSsinsinsin；证明：作平面DEF与三棱柱ABC-A1B1C1侧棱垂直，分别交侧棱AA1，BB1，CC1于点D，E，F，则EDF=，DEF，DFE，在DEF中，根据正弦定理得EFDFDEsinsinsin，即111EFAADFAADEAAsinsinsin而111AABBCC，且111AABBCC，因此111111BBCCAACCBBCCSSSsinsinsin．二、直接证明与间接证明1．人教A版选修2-2第96页例1在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为,,abc，且A，B，C成等差数列，,,abc成等比数列，求证ΔABC为等边三角形．变式1：在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为,,abc，且A，B，C成等差数列，,,abc也成等差数列，求证ΔABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列知，3B，由余弦定理知222bacac，又,,abc也成等差数列，∴2acb，代入上式得222()4acacac，整理得23()0ac，∴ac，从而AC，而3B，则3ABC，从而ΔABC为等边三角形．变式2：在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为,,abc，且cos,cos,cosABC成等比数列，,,abc成等差数列，求证ΔABC为等边三角形．证明：由于cos,cos,cosABC成等比数列，则2coscoscosBAC，即22coscos()cos()BACAC∴22coscoscos()BBAC（1）又,,abc成等差数列，则2sinsinsinBAC则4sincos2sincos2222BBACAC，由于cossin022BAC，∴2sincos22BAC，即22cos()2cos18sin134cos22ACBACB（2）将（2）式代入（1）式得：22cos5cos30BB，∴1cos2B或cos3B（舍去），而0B，∴3B（3）将（3）代入（1）得：cos()1AC