高考普通高等学校招生全国统一考试数学试题-第十五章《创新题目》汇编及详解

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学新型题目汇编及详解一、选择题（共9题）1．（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,ABC的机动车辆数如图所示，图中123,,xxx分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A）123xxx（B）132xxx（C）231xxx（D）321xxx解：依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，x1x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10x1x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5x3x2故选C2．（福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x1－x2︱+︱y1－y2︱.给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖‖AB‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)AxyBxy，定义它们之间的一种“距离”：2121||.ABxxyy①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则01012020||||||||ACCBxxyyxxyy=2121||.xxyyAB③在ABC中，01012020||||||||ACCBxxyyxxyy01200120|()()||()()|xxxxyyyy=2121||.xxyyAB∴命题①③成立，而命题②在ABC中，若90,oC则222;ACCBAB明显不成立，选B.3．（广东卷）对于任意的两个实数对(,)ab和(,)cd，规定：(,)(,)abcd，当且仅当,acbd；运算“”为：(,)(,)(,)abcdacbdbcad；运算“”为：(,)(,)(,)abcdacbd，设,pqR，若(1,2)(,)(5,0)pq，则(1,2)(,)pqA.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)解析：由)0,5(),()2,1(qp得210252qpqpqp,所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(qp,故选B.4．（辽宁卷）设○+是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意,abA有a○+bA,则称A对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集解析：A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中12＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中222不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。5．（山东卷）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z=xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（A）0（B）6（C）12（D）18解：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D6．(陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7解析：当接收方收到密文14，9，23，28时，则214292323428abbccdd，解得6417abcd，解密得到的明文为C．7．(上海卷)如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是（）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3．解：选（D）①正确，此点为点O；②正确，注意到,pq为常数，由,pq中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p）；③正确，四个交点为与直线1l相距为p的两条平行线和与直线2l相距为q的两条平行线的交点；8．(上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。1l2lOM（p，q）在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48（B）18（C）24（D）36解析：若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若“这两条直线没有公共点”，则“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.二、填空题（共2题）9．(上海卷)如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M,若,pq分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对,pq是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.解析：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；10．（四川卷）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a、bG，都有abG；（2）存在cG，使得对一切aG，都有accaa，则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：①G{非负整数}，为整数的加法。②G{偶数}，为整数的乘法。③G{平面向量}，为平面向量的加法。④G{二次三项式}，为多项式的加法。⑤G{虚数}，为复数的乘法。其中G关于运算为“融洽集”的是（写出所有“融洽集”的序号）解析：非空集合G关于运算满足：（1）对任意,abG，都有abG；（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①,G非负整数为整数的加法,满足任意,abG，都有abG，且令0e，有00aaa，所以①符合要求；②,G偶数为整数的乘法,若存在aeaea，则1e，矛盾，∴②不符合要求；③,G平面向量为平面向量的加法,取0e，满足要求，∴③符合要求；④,G二次三项式为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；⑤,G虚数为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，这样G关于运算为“融洽集”的有①③。