高二数学同步测试(9)—抛物线及几何性质

高中学生学科素质训练高二数学同步测试（9）—抛物线及几何性质共150分，考试用时120分钟一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．抛物线2axy的焦点坐标为（）A．)0,41(aB．)0,4(aC．)41,0(aD．)4,0(a2．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）、B（x2,y2）两点，如果x1+x2=6，则|AB|的长是（）A．10B．8C．6D．43．抛物线y=x2上点A处的切线与直线013yx的夹角为45°，则点A的坐标是（）A．（－1，1）B．)161,41(C．（1，1）D．（－1，1）或)161,41(4．设P是抛物线0122yx上的动点，点A的坐标为（0，－1），点M在直线PA上，且分PA所成的比为2：1，则点M的轨迹方程是（）A．013182yxB．013182xyC．01392yxD．0162yx5．已知抛物线xy42的焦点为F，定点P(4,－2)，在抛物线上找一点M，使得||||MFPM最小，则点M的坐标为（）A．)2,2(B．)2,1(C．)2,1(D．)2,1(6．抛物线yx412上的点到直线54xy的距离最短，则该点的坐标为（）A．)0,0(B．)4,1(C．)1,21(D．)1,5(7．抛物线xy82上的点),(00yx到抛物线焦点的距离为3，则|y0|=（）A．2B．22C．2D．48．过抛物线xy82的焦点F作倾斜角是43的直线，交抛物线于A,B两点，则||AB（）A．8B．28C．216D．169．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点，若P,Q在抛物线准线上的射影为11,QP，则11FQP等于（）A．45B．60C．90D．3010．已知抛物线12yx上三点A,B,C,且A(－1,0),BCAB当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（）A．),1[]3,(B．)3,(C．),1[D．]1,3[11．若一个圆的圆心在抛物线y2=4x的焦点处，且此圆与直线x+y+1=0相切，则这个圆的方程是（）A．x2+y2－2x－1=0B．x2+y2+2x+1=0C．x2+y2－2y+1=0D．x2+y2+2y+1=012．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[－21，21]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．若抛物线的顶点是双曲线1322yx的中心，且准线与双曲线的左准线重合，则此抛物线的方程为____________.14．设x1,x2∈R定义运算○×：x1○×x2=(x1+x2)2－(x1－x2)2,若x≥0，常数m0，则动点P(x,2mx)的轨迹方程是15．一个正三角形的三个顶点都在抛物线xy42上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为_________.16．AB是抛物线xy2的一条焦点弦，若4||AB，则AB的中点到直线021x的距离为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）.过点A(0，－2)的直线与抛物线xy42相交于两点P,Q，求以OP,OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程．18．（12分）一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线型隧道，拱口宽恰好是抛物线的正焦弦长，若拱口宽为a米，求能使卡车通过的a的最小整数值．19．（12分）如图所示，设抛物线)0(22ppxy的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过原点O．20．（12分）、如图，过抛物线ypxp220()上一定点P（xy00,）（y00），作两条直线分别交抛物线于yPOxAByxOFAB（N）DEClA（xy11,），B（xy22,）（I）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求yyy120的值，并证明直线AB的斜率是非零常数21．(12分)如图，P是抛物线C：y=21x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求||||||||SQSTSPST的取值范围.22．（14分）如图,直线y=21x与抛物线y=81x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值.参考答案（9）一．选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分）题号123456789101112答案CBDACCBDCAAC二．填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）13．xy2214.y2=2mx(y≥0)15.34816.49三、解答题（本大题共6题，共74分）17．解平行四边形ABCD的对角线的交点为N，且),(),,(),,(2211yxMyxQyxP．由题意得直线PQ的方程为2kxy，其中k为不等于零的参数由xykxy422，得(*)04)1(422xkxkkxxkyykkxx44)(,)1(42121221，N是PQ的中点N点的坐标为)2,)1(2(2kkk，又N为OM的中点yyxkkkykkx2241,,0(4)1(4得消去且为参数）直线PQ和抛物线有两个不同的交点(*)式中0044)]1(4[22kkk且，解得：0021kk或由8,04yyky或知，故点M的轨迹方程为)08(0442yyxyy或18．分析：先建立如图所示的坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，卡车的轴线与y轴重合，问题转化为求出x＝0.8时的y值，需y＞3才能满足条件．解：设抛物线方程为x2＝－2p(y－p/2)∵（a/2，0）在抛物线上，∴a2/4＝p2，即p＝a/2．从而抛物线方程为x2＝－a(y－a/4)，将（0.8,y）代入得aay456.22卡车高3米，故需y＞3且a＞0，得a2－12a－2.56＞0，解得a＞12.21或a＜－0.12（舍去）所以a应取13．注：本题以应用问题描述为载体，利用代定系数法求抛物线方程，解题中利用点与坐标、曲线与方程的对应关系，融进参数的讨论，富有新意。19．解：如图，连接AC，设AC与EF交于点N，过A作lAD于D，则AD//EF//BC，||||||||||||||||ABBCAFNFABBFADEN,由抛物线的定义：有|||||||||||||||||||||,|||NFABBCAFABBFADENBCBFADAFN是线段EF的中点，即AC经过点O20．解：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（I）当yp2时，xp8,又抛物线ypx22的准线方程为xp2.由抛物线定义得，所求距离为ppp8258().（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由ypx1212，ypx0202,相减得()()()yyyypxx1010102.故kyyxxpyyxxPA101010102().同理可得kpyyxxPB22020().由PA，PB倾斜角互补知kkPAPB,即221020pyypyy,所以yyy1202,故yyy1202.设直线AB的斜率为kAB由ypx2222，ypx1212相减得()()()yyyypxx2121212,所以kyyxxpyyxxAB212112122().将yyyy120020()代入得kpyypyAB2120，所以kAB是非零常数.21．解：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.yPOxAB解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y10，y20.由y=21x2，①得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1，∵x1=0不合题意，∴x1≠0∴直线l的斜率,1111xkk切∴直线l的方程为y－21x12=－11x(x－x1)，方法一：联立①②消去y，得x2+12xx－x12－2=0.∵M是PQ的中点∴x0=221xx=－11x，y0=21x12－11x(x0－x1).消去x1，得y0=x02+2021x+1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+2021x+1(x≠0).方法二：由y1=21x12，y2=21x22，x0=221xx，得y1－y2=21x12－21x22=21(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，则x0=2121xxyy=kl=－11x，∴x1=－01x，将上式代入②并整理，得y0=x02+2021x+1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+2021x+1(x≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则||||||||SQSTSPST||||||||||||||||21ybybQQOTPPOT.y=21x2由消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.③y=kx+by1+y2=2(k2+b)，则y1y2=b2.方法一：∴||||||||SQSTSPST|b|(2111yy)≥2|b|211yy=2|b|21b=2.∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQSTSPST的取值范围是（2，+）.方法二：∴||||||||SQSTSPST=|b|2121yyyy=|b|22)(2bbk.当b0时，||||||||SQSTSPST=b22)(2bbk=bbk)(22=bk22+22；当b0时，||||||||SQSTSPST=－b22)(2bbk=bbk)(22.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)0，于是k2+2b0，即k2－2b.所以||||||||SQSTSPSTbbb)2(2=2.∵当b0时，bk22可取一切正数，∴||||||||SQSTSPST的取值范围是（2，+）.22．解：(1)解方程组48444812122112yxyxxyxy或即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB==21,直线AB的垂直平分线方程y－1=21(x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,81x2－4).∵点P到直线OQ的距离d=24812xx=3282812xx,25OQ,∴SΔOPQ=21dOQ=3281652xx.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴－4≤x43－4或43－4x≤8.∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,且当x=－4时，|x2+8x－32|=48当x=8时，|x2+8x－32|=96∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值3096165.