04-05年上学期高三第一轮复习数学探索性问题(附答案)

2004－2005学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学同步测试（15）—《探索性问题》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}，f是A到B的映射，且满足条件f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个2．在△ABC中，sinAsinB是AB成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．直线143xy与椭圆221169xy相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积等于3，这样的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．设数集nxnxNmxmxM31,43，且M、N都是集合10xx的子集，如果把ab叫做集合bxax的“长度”，那么集合NM的“长度”的最小值是（）A．31B．32C．121D．1255．PQ是异面直线a，b的公垂线，ab，Aa，Bb，C在线段PQ上（异于P,Q），则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．三角形不定6．用一张钢板制作一容积为34m的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是（）A．2×5B．2×5.5C．2×6.1D．3×57．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数（11…11）2（2004个1）转换成十进制形式是（）A．22004－2B．22003－2C．22004－1D．22003－18．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是（）A．42B．45C．48D．519．在(1+x)2+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n－10的（）A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项10．已知集合A={x|x2－2x－30},B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3，4]则有（）A．a=3,b=4B．a=3,b=－4C．a=－3,b=4D．a=－3,b=－411．不等式22xa2x+a(a0)的解集是（）A．{x|x0或x－45a}B．{x|－2axa}C．{x|0x≤a}D．{x|－a≤x－45a或0x≤a}12．椭圆13422yx的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A1点的平面B1A2B2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知定点A(－2，3),F是椭圆162x+122y=1的右焦点，点M在椭圆上移动，则当|AM|+2|MF|取最小值时，点M的坐标是.14．若(x2－x1)n的展开式中含x的项为第6项，设(1－x+2x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a1+a2+a3+…+a2n=.15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为______________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________________.16．定义集合A和B的运算：,ABxxAxB且.试写出含有集合运算符号“”、“”、“”，并对任意集合A和B都成立的一个等式：_______________.三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17．（本小题满分12分）已知函数Zkxxfkk22)(，且)3()2(ff（1）求k的值；（2）试判断是否存在正数p，使函数xpxfpxg12)(1)(在区间2,1上的值域为817,4.若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)．（1）求证：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a)(x－c)＋(x－b)(x－c)；（2）若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）已知奇函数fx的定义域为全体实数，且当0x时，'0fx，问是否存在这样的实数，使得cos2342cos0fff对所有的0,2均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数；若不存在，试说明理由.20．（本小题满分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，且b,a,c成等差数列，b≥c，已知B(－1,0),C(1,0)。（1）求顶点A的轨迹L；（2）是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q，且|PQ|恰好等于原点到直线m的距离的倒数？若存在，求出m的方程，若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.DPBACE22．（本小题满分14分）已知数列{an}中，a1=4，an+1=124nnaa，是否存在这样的数列{bn}，bn=AaCBann，其中A、B、C为实常数，使得{bn}是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求{an}的取值范围.参考答案（十五）一、选择题（每小题5分，共60分）：(1).B(2).C(3).B(4).C(5).C(6).D(7).C(8).B(9).C(10).D(11).C(12).C二、填空题（每小题4分，共16分）(13).(23,3)；(14).255；(15).3当n为偶数时，Snn52；当n为奇数时，Snn5212(16).()()AABABB；()()BABABA；()()()()ABABABBA；…三、解答题（共74分，按步骤得分）17.解：（1）∵)3()2(ff，∴022kk，即022kk，∵Zk，∴10或k（2）2)(xxf，ppppxpxpxpxg414212121)(222当2,1212pp，即,41p时，1)2(,4)1(,2,8174142ggppp当,2212pp时，∵0p，∴这样的p不存在。当1,212pp，即41,0p时，4)2(,817)1(gg，这样的p不存在。综上得，2p.18.解：（1）∵f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)＝ｘ3－（a+b+ｃ)x2＋(ab+bc+ac)x－abcf′(x)=3x2－2(a+b+ｃ)x＋(ab+bc+ac)=[x2－(a+b)x＋ab]＋[x2－(a+c)x＋ac]＋[x2－(b+c)x＋bc]=(x－a)(x－b)＋(x－a)(x－c)＋(x－b)(x－c)．（2）∵f(x)是R上的单调函数，∴f′(x)≥0，对x∈R恒成立，即3x2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)≥0对x∈R恒成立．∴△≤0,4(a+b+c)2－12(ab+bc+ca)≤0，∴(a－b)2＋(a－c）2＋(b－c)2≤0，∴a=b=c．∴f(x)=(x－a)3，∴f(x)关于点(a，0)对称．证明如下：设点P(x，y)是f(x)=(x－a)3图像上的任意一点，y=(x－a)3，点P关于点(a，0)对称的点P′(2a－x，－y)，∵(2a－x－a)3=(2a－x)3=－(x－2a)3=－y，∴点P′在函数f(x)=(x－a)3的图像上，即函数f(x)=(x－a)3关于点(a，0)对称．19.解：因为fx在R上为奇函数，又在0,上是增函数所以fx在R上也是增函数，且00f因为cos2342cos00fff所以cos2342cos2cos4fff故2cos232cos4coscos220要使不等式对任意0,2恒成立，只要大于函数22cos2cosy的最大值即可。令cos0,1t，则求函数220,12tytt的最大值，方法1（求导）'22'2242022tttytt解得：22t，因0,122tt当022t，时，'0y；当122t时，'0y故max422y，因此422,方法2（判别式）把函数变形为2220tyty设222gttyty，即0gt在0,1上有解当0y时，必须00110gyg且1y，矛盾；当02y时，200880gyy或220880gyy或20020880ggyy422y或422y此时max422y；当2y时，必须00110gyg且1y，矛盾；方法3（不等式）226422242222tttytttt422，此时22220,12ttt20.解：（1）由题设知b+c=2a，|BC|=2,∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4,又b≥c，故由椭圆的定义知，点A的轨迹L是左半个椭圆（去掉左顶点），轨迹方程为：42x+32y=1（－2x≤0）。（2）假设存在直线m满足题意，①当m斜率存在时，设m的方程为y=k(x+1)，把它代入椭圆方程，消去y得(4k2+3)x2+8k2x－12+4k2=0。设P(x1,y1)Q(x2,y2)，则x1+x2=－34822kk，x1·x2=3412422kk，又∵x1≤0,x2≤0，即x1x2≥0,∴k2≥3，∴|PQ|=]4))[(1(212212xxxxk=34)1(1222kk设原点O到直线m的距离为d，则d=1||2kk,∵|PQ|=d1,∴34)1(1222kk=||12kk，得k2=32331533，这与k2≥3矛盾，表明直线m不存在。②当斜率不存在时，m的方程为x=－1，此时|PQ|=|y1－y2|=3,d=1，|PQ|≠d1，所以不满足题设。综上，满足题设的条件不存在。21.证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以.3360sin,32,31aAGGHaAGaEG从而,33tanGHEG.30（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(aaCaaBA).31,32,0(),,0,0(),0,,0