高考数学-云师堂6.2

6.2椭圆、双曲线、抛物线专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理14)(2012全国,理4)(2012全国,理8)(2013全国Ⅰ,理4)(2013全国Ⅱ,理11)(2014全国Ⅰ,理4)(2014全国Ⅰ,理10)(2014全国Ⅱ,理20)(2015全国Ⅰ,理5)(2015全国Ⅰ,理14)(2015全国Ⅱ,理11)选择题填空题解答题从近五年的高考试题来看,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是高考考查的重点,也是高考命题的基本元素.考查的角度有:对圆锥曲线的定义的理解及定义的应用,求圆锥曲线的标准方程,求圆锥曲线的离心率以及向量、直线、圆锥曲线的小综合.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是依据圆锥曲线的几何性质求离心率;根据圆锥曲线的定义求标准方程;圆锥曲线与向量的小综合;两种圆锥曲线间的小综合;直线与圆锥曲线的小综合;圆锥曲线的综合应用等.专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四圆锥曲线的定义的应用【思考】什么问题可考虑应用圆锥曲线的定义?求圆锥曲线标准方程的基本思路是什么?例1设P是椭圆𝑥29+𝑦25=1上一点,M,N分别是两圆:(x+2)2+y2=1和(x-2)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.4,8B.2,6C.6,8D.8,12答案解析解析关闭如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=6.连接PA,PB,分别与两圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2=4.延长PA,PB,分别与两圆相交于M',N'两点,此时|PM'|+|PN'|最大,最大值为|PA|+|PB|+2=8,即最小值和最大值分别为4,8.答案解析关闭A专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-题后反思1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点间的距离或焦点弦的问题以及到抛物线焦点(或准线)的距离问题,可优先考虑圆锥曲线的定义.2.求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线,焦点在哪个坐标轴上,然后利用条件求a,b,p的值.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-对点训练1(2015浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|𝐵𝐹|-1|𝐴𝐹|-1B.|𝐵𝐹|2-1|𝐴𝐹|2-1C.|𝐵𝐹|+1|𝐴𝐹|+1D.|𝐵𝐹|2+1|𝐴𝐹|2+1答案解析解析关闭设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则𝑆△𝐵𝐶𝐹𝑆△𝐴𝐶𝐹=|𝐵𝐶||𝐴𝐶|=𝑥2𝑥1=|𝐵𝐹|-1|𝐴𝐹|-1,故选A.答案解析关闭A命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-求圆锥曲线的离心率【思考】求圆锥曲线离心率的基本思路是什么?例2(2015全国Ⅱ高考)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案解析解析关闭设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),点M在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M向x轴作垂线,垂足为N,则∠MBN=60°.∵|AB|=|BM|=2a,∴|MN|=2asin60°=3a,|BN|=2acos60°=a.∴点M的坐标为(2a,3a),代入双曲线方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,整理,得𝑎2𝑏2=1,即𝑏2𝑎2=1.∴e2=1+𝑏2𝑎2=2,∴e=2.答案解析关闭D命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-题后反思解决椭圆和双曲线的离心率的求值或范围问题,其关键就是确立一个关于a,b,c(a,b,c均为正数)的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-对点训练2过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案解析解析关闭设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),则𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1,∴(𝑥1-𝑥2)(𝑥1+𝑥2)𝑎2+(𝑦1-𝑦2)(𝑦1+𝑦2)𝑏2=0,∴𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑏2𝑎2·𝑥1+𝑥2𝑦1+𝑦2.∵𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2,∴-𝑏2𝑎2=-12,∴a2=2b2.又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴𝑐𝑎=22,即椭圆C的离心率等于22.答案解析关闭22命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-求轨迹方程【思考】求轨迹方程的基本策略是什么?例3在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(ab0)为动点,F1,F2分别为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足𝐴𝑀·𝐵𝑀=-2,求点M的轨迹方程.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c0).由题意,得|PF2|=|F1F2|,即(𝑎-𝑐)2+𝑏2=2c,整理,得2𝑐𝑎2+𝑐𝑎-1=0,解得𝑐𝑎=-1(舍去)或𝑐𝑎=12.故椭圆的离心率e=12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=3(x-c).A,B两点的坐标满足方程组3𝑥2+4𝑦2=12𝑐2,𝑦=3(𝑥-𝑐).消去y并整理,得5x2-8cx=0.解得x1=0,x2=85c.专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-则方程组的解𝑥1=0,𝑦1=-3𝑐或𝑥2=85𝑐,𝑦2=335𝑐.不妨设A85𝑐,335𝑐,B(0,-3c).设点M的坐标为(x,y),则𝐴𝑀=𝑥-85𝑐,𝑦-335𝑐,𝐵𝑀=(x,y+3c).由y=3(x-c),得c=x-33y.于是𝐴𝑀=8315𝑦-35𝑥,85𝑦-335𝑥,𝐵𝑀=(x,3x).由𝐴𝑀·𝐵𝑀=-2,即8315𝑦-35𝑥·x+85𝑦-335𝑥·3x=-2,化简,得18x2-163xy-15=0.将y=18𝑥2-15163𝑥代入c=x-33y,得c=10𝑥2+516𝑥0,所以x0.因此,点M的轨迹方程是18x2-163xy-15=0(x0).命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-题后反思1.求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.2.讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-对点训练3如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过点M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-2时,切线MA的斜率为-12.(1)求p的值;(2)当点M在C2上运动时,求线段AB的中点N的轨迹方程(当A,B重合于点O时,中点为O).命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=𝑥2,且切线MA的斜率为-12,所以点A的坐标为-1,14,所以切线MA的方程为y=-12(x+1)+14.因为点M(1-2,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-12(2-2)+14=-3-224,①y0=-(1-2)22𝑝=-3-222𝑝.②由①②得p=2.专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-(2)设N(x,y),A𝑥1,𝑥124,B𝑥2,𝑥224,x1≠x2,由N为线段AB的中点知x=𝑥1+𝑥22,③y=𝑥12+𝑥228.④切线MA,MB的方程为y=𝑥12(x-x1)+𝑥124,⑤y=𝑥22(x-x2)+𝑥224.⑥由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=𝑥1+𝑥22,y0=𝑥1𝑥24.因为点M(x0,y0)在C2上,即𝑥02=-4y0,所以x1x2=-𝑥12+𝑥226.⑦由③④⑦得x2=43y,x≠0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,线段AB的中点N为O,坐标满足x2=43y.因此线段AB的中点N的轨迹方程为x2=43y.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-圆锥曲线与圆相结合的问题【思考】圆锥曲线与圆相结合的题目经常用到圆的哪些性质?例4(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的离心率为32,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:𝑥24𝑎2+𝑦24𝑏2=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.①求|𝑂𝑄||𝑂𝑃|的值;②求△ABQ面积的最大值.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-解：(1)由题意知2a=4,则a=2.又𝑐𝑎=32,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为𝑥24+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为𝑥216+𝑦24=1.①设P(x0,y0),|𝑂𝑄||𝑂𝑃|=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为𝑥024+𝑦02=1,又(-𝜆𝑥0)216+(-𝜆𝑦0)24=1,即𝜆24𝑥024+𝑦02=1,所以λ=2,即|𝑂𝑄||𝑂𝑃|=2.②设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ0,可得m24+16k2.①则有x1+x2=-8𝑘𝑚1+4𝑘2,x1x2=4𝑚2-161+4𝑘2.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析高频考点核心归纳高频考点-18-所以|x1-x2|=416𝑘2+4-𝑚21+4𝑘2.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=12|