高考数学考前指导练习

高考数学考前指导练习（小题）高考数学“小题”是指选择题、填空题，属于客观性试题。一方面具有题小、量大、基础、灵活、答案唯一（开放型填空题除外）等特点；另一方面具有比较明显的学科特点，即概念性强，量化突出，充满思辨性，形数兼备，解法多样化；是考查知识掌握程度和区分考生的能力层次、思维品质的重要题型，其分值约占全卷分值的53%（选择题33%，填空题20%）。用简缩的思维，快速、准确、灵活地得知结果，是每个考生希望达到的境界。解题的基本原则：小题不能大做，消除隐形失分。解题的基本策略：要充分利用题设和选项(或所求)提供的信息作出科学的判断，讲究“巧”字。解题的基本方法：1.代入验证（见好就收）；2.特殊化方法（特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型）；3.排除法（筛选法、特殊值排除法）；4.数形结合法（图解法）；5.推理分析法（特征分析、逻辑分析）；6.估算、列举、归纳法；7.联想、类比、构造法；8.直接法。……现结合实例加以说明。一、小题不能大做，消除隐形失分【例1】原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（）A．不会提高70%B．会高于70%，但不会高于90%C．不会低于10%D．高于30%，但低于100%〖小题大做〗设一次通话时间为x分钟，调整前话费为S1元，调整后话费为S2元，提价的百分率为y，则y＝S2-S1S1·100%，列表如下（时间包尾计算）：x范围(n∈N＋)S1S2yx∈]3,0(0.180.2222.2%x∈]13,3(nn0.18n＋0.180.22＋0.11[(3n＋1)－3]＝0.33n5n-66n+6·100%x∈]23,13(nn0.18n＋0.180.22＋0.11[(3n＋2)－3]＝0.33n＋0.1115n-718n+18·100%x∈]33,23(nn0.18n＋0.180.22＋0.11[(3n＋3)－3]＝0.33n＋0.2215n+418n+18·100%根据表中计算结果：y＜56·100%≈83.3%，取n＝1，对应于y＝－8.3%、22.2%、50.8%，故排除A、C、D，选B。〖小结〗这里运用了分类讨论和表格，进行建模、计算、排除，若是一道解答题，这样做是再好不过，遗憾的是选择题，那如何“巧”做呢？！〖特殊值法〗取x＝4，y＝0.33-0.360.36·100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y＝3.19-1.81.8·100%≈77.2%，排除A，从而选B。『类题1』设x—＝x1+x2+…+xnn，p＝(x1－x—)2＋(x2－x—)2＋…＋(xn－x—)2，q＝(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2，若x—≠a，则一定有（）A．p＞qB．p＝qC．p＜qD．与a的值有关特殊化，n＝1，p＝0，q＞0，选C，此为方差最小原理，如何证明？『类题2』在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则CACAcoscos1coscos法一：取a＝3,b＝4,c＝5,则cosA＝,54cosC＝0,CACAcoscos1coscos,54法二：取A＝B＝C＝600cosA＝cosC＝21,CACAcoscos1coscos,54『类题3』过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，如果线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11A、2aB、a21C、4aD、a4法一：取特殊情况，PQ∥x轴,aqp21,选C法二:取特殊情况，PQ∥y轴,qap,41,选C【例2】以双曲线x23-y2=1的左焦点F，左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线y＝kx＋3所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是。〖小题大做〗F（－2，0），l：x＝－32，可设椭圆(x-x0)2a2+y2b2=1（a＞b＞0），与直线y＝kx＋3联立，消去y得：(b2＋a2k2)x2－2(b2x0－3a2k)x＋9a2－a2b2＝0，△＞0时得x1+x22＝b2x0-3a2kb2+a2k2，又直线y＝kx＋3与x轴交于点（－3k，0），据题设知：－3k＝b2x0-3a2kb2+a2k2，解得x0＝－3k，而椭圆中心O1（x0，0）在右焦点F的左侧，∴x0＝－3k＜－2，解得0＜k＜32。〖小结〗若简缩思维，抓住问题的本质：直线与x轴的交点——弦的中点——椭圆的中心（为什么？），你有哪些科学的解法？〖解法一〗（特征分析法）：F（－2，0），l：x＝－32，根据椭圆的对称性知椭圆中心O1（－3k，0），又－3k＜－2，得0＜k＜32。〖解法二〗作出椭圆（草图），注意到直线y＝kx＋3过定点M（0，3）及椭圆中心O1，知kOM＝k∈（0，32）。『类题1』设球的半径为R,P、Q是球面上北纬600圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是2R，则这两点的球面距离是（）A、R3B、22RC、3RD、2R分析：纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，选C『类题2』sin2180＋sin2540＝()A、1B、43C、21D、34xyoo1MABF····分析：4354sin214118sin06054453018020200000，选B『类题3』)(1123Nnnan，记数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn＞0的最小正整数n的值是（）A、10B、11C、12D、5分析：1123)(xxf的图象关于点（5.5，0）对称，S10＝0，选B二、读懂题目，审清题意一方面，审题是“快、准、活”解题的基础和前提；另一方面，阅读、理解能力是数学能力的重要部分，高考考查的力度逐年加大。【例3】根据图形的性质，写出一个重要不等式（化简后）。错误答案出错原因f(a+b2)＞f(a)+f(b)2没有看到y＝xa+b2＞a+b2没有看到括号中“化简后”a+b2≥ab没有看出图中“b＞a＞0”a2＋b2＞2ab(a、b∈R)没有看出a、b∈R＋(a–b)2＞0化简过头，及忘记“重要”二字小结：出错的根本原因在于“读题”，对图形提供的信息和题目的要求没有全面、仔细、深刻地理解。『类题1』已知集合A＝{直线}，集合B＝{圆}，则A∩B中元素个数是（）A、0B、1C、2D、0或1或2误选D，错因：以为研究“位置关系”，没悟出A∩B＝，应选A『类题2』已知样本均值x—＝5，样本方差S2＝100，若将所有的样本观察值都乘以15后，则新的样本均值x′——和样本标准差S′分别为（）xyoab2a+b····xyA．1，4B．1，2C．5，4D．25，2答案B。分别说出误选A、C、D的原因。『类题3』若e3＝xe1＋ye2且e1，e2不共线，则称（x，y）是e3以e1，e2为基底的坐标，在直角坐标系中，e1＝（1，0），e2＝（21，23），e3＝（23，23），则e3以e1，e2为基底的坐标为e3＝e1＋e2．（错解）『类题4』已知定点A（1，1）和直线l：x＋y－2＝0，则到定点A的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线（错解：选C，错因：不知道隐含条件“A∈l”）『类题5』定义∑nk=iak＝ai＋ai＋1＋ai＋2＋…＋an，其中i、n∈N＋，且i≤n，若f(x)＝∑2003k=0(－1)kCk2003(3－x)k＝∑2003i=0aix2003－i，则∑2003k=1ak的值为（）A．2B．0C．－1D．－2三、合理选择解法，力求巧．做【例4】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF与面AC的距离是2，且EF＝23，则该多面体的体积为（）A．92B．5C．6D．152〖方法1〗（分割法＋特殊化）：V＝VE—AMND＋VEMN—FBC＝…＝152；〖方法2〗（补形法＋特殊化）：V＝VGAD—FBC－VE—ADG＝…＝152；〖方法3〗（放缩法）：V＞VE—ABCD＝13·2·32＝6，故选D。『类题1』函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在区间[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值MD．可以取得最小值－M〖方法1〗（换元法）：令t＝ωx＋φ，x∈[a，b]，设t∈[－π/2，π/2]即可排除A、B、D，选C；ABCDEFMNG〖方法2〗（特殊化）：取M＝ω＝1，φ＝0，且a＝－π/2，b＝π/2，满足题设；〖方法3〗（特殊化＋图解）：作出f(x)＝sinx、g(x)＝cosxx∈[－π/2，π/2]即知；〖方法4〗（分析法）：由题设可知[f(x)]2＋[g(x)]2＝M2，且f(a)＝－M，f(b)＝M，得g(a)＝g(b)＝0，排除A、B，又f(x)在[a，b]上递增，从而g(x)≥0，排除D，故选C。〖小结〗多种手段协同作战，如虎添翼，巧夺天工。『类题2』椭圆x29+y24=1的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是.〖方法1〗用焦半径公式，|PF1|＝3＋53x0，|PF2|＝3－53x0，代入|PF1|2＋|PF2|2＜|F1F2|2得x02＜95，从而x0∈（－355，355）；〖方法2〗用焦半径公式＋特殊化，|PF1|＝3＋53x0，|PF2|＝3－53x0，代入|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得x02＝95，从而xP∈（－355，355）；〖方法3〗用焦半径公式＋椭圆定义，|PF1|2＋|PF2|2＜20(|PF1|＋|PF2|)2＜20＋2|PF1|·|PF2||PF1|·|PF2|＝9－59x02＞8x02＜95x0∈（－355，355）；〖方法4〗构造圆x2＋y2＝5，与椭圆x29+y24=1联立求得交点x02＝95x0∈（－355，355）；〖方法5〗特殊化＋椭圆定义＋面积公式，20＝|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，S△＝12|PF1|·|PF2|＝1221FF·|y|，代入上式得|y|＝45，代入椭圆方程得x2＝95x0∈（－355，355）；〖方法6〗参数法，设P（3cosθ，2sinθ），代入|PF1|2＋|PF2|2＜|F1F2|2得cos2θ＜15，得x0＝3cosθ∈（－355，355）；『开放（Ⅰ）』椭圆x29+y24=1的焦点F1、F2，点P为椭圆上动点，连结PF1、PF2，试尽可能多地写出一些正确的论断：（1）a＝3，b＝2，c＝5，e＝53，p＝45；（2）焦点(±5，0)，准线x＝±95；（3）|PF1|＋|PF2|＝6；（4）P（x0，y0）x029+y024=1；（5）|PF1|＝(x0+5)2+y02＝3＋53x0，|PF2|＝(x0+5)2-y02＝3－53x0；（6）cos∠F1PF2＝8r1r2－1；（7）S△＝b2·tan∠F1PF22；（8）PF1⊥x轴|PF1|＝43；（9）S椭圆＝πab；（10）a－c≤|PF|≤a＋c且b2≤|PF1|＋|PF2|≤a2；『开放（Ⅱ）』椭圆x29+y24=1的焦点F1、F2，点P为椭圆上动点，当∠F1PF2＝90°时，写出三个相应的正确结论.（11）P（35，±45）或（－35，±45）；（12）|PF1|＝2或4；（13）P点到两焦点的距离之比为2：1；（14）P点到两准线的距离之比为2：1；（15）P点到原点的距离为5；（16）S△F1PF2＝4；『开放（Ⅲ）』在（Ⅰ）的条件下，当P点在何处时，提出问题：（17）S△F1PF2最大；（18）∠F1PF2最大；（19）|PF1|·|PF2|最大？最小？（20）∠F1PF2为直角？锐角？钝角？（21）S△＜4；四、运用数学思想方法解题【例5】设函数f(x)＝13x3＋12ax2＋2b