高中毕业班数学全国统一考试试题2

高中毕业班数学全国统一考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合12SxxR≥，21012T，，，，，则ST（）A．2B．12，C．012，，D．1012，，，（2）设变量xy，满足约束条件142xyxyy≥，≤，≥则目标函数24zxy的最大值为（）Ａ．10Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．14（3）“2a”是“直线20axy平行于直线1xy”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（4）设12log3a，0.213b，132c，则（）A．abcB．cbaC．cabD．bac（5）函数2log(4)(0)yxx的反函数是（）A．24(2)xyxB．24(0)xyxC．24(2)xyxD．24(0)xyx（6）设ab，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若ab，与所成的角相等，则ab∥B．若a∥，b∥，∥，则ab∥C．若a，b，ab∥，则∥D．若a，b，，则ab（7）设双曲线22221(00)xyabab，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24yx的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ．2211224xyＢ．2214896xyＣ．222133xyＤ．22136xy（8）设等差数列na的公差d不为0，19ad．若ka是1a与2ka的等比中项，则k（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8（9）设函数()sin()3fxxxR，则()fx（）A．在区间2736，上是增函数B．在区间2，上是减函数C．在区间84，上是增函数D．在区间536，上是减函数（10）设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x≥时，2()fxx，若对任意的2xtt，，不等式()2()fxtfx≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．2，∞B．2，∞C．02，D．2120，，第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：分组90100，100110，110120，120130，130140，140150，频数123101则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的％．（12）921xx的二项展开式中常数项是（用数字作答）．（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．（14）已知两圆2210xy和22(1)(3)20xy相交于AB，两点，则直线AB的方程是．（15）在ABC△中，2AB，3AC，D是边BC的中点，则ADBC．（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在ABC△中，已知2AC，3BC，4cos5A．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin26B的值．（18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABADACCD，，60ABC°，PAABBC，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE平面PCD；（Ⅲ）求二面角APDC的大小．ABCDPE（20）（本小题满分12分）在数列na中，12a，1431nnaan，n*N．（Ⅰ）证明数列nan是等比数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；（Ⅲ）证明不等式14nnSS≤，对任意n*N皆成立．（21）（本小题满分14分）设函数2()()fxxxa（xR），其中aR．（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a时，证明存在10k，，使得不等式22(cos)(cos)fkxfkx≥对任意的xR恒成立．（22）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，，是椭圆上的一点，212AFFF，原点O到直线1AF的距离为113OF．（Ⅰ）证明2ab；（Ⅱ）求(0)tb，使得下述命题成立：设圆222xyt上任意点00()Mxy，处的切线交椭圆于1Q，2Q两点，则12OQOQ．高中毕业班数学全国统一考试试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）B（2）C（3）C（4）A（5）C（6）D（7）D（8）B（9）A（10）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．（11）70（12）84（13）14（14）30xy（15）52（16）630三、解答题（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：在ABC△中，2243sin1cos155AA，由正弦定理，sinsinBCACAB．所以232sinsin355ACBABC．（Ⅱ）解：因为4cos5A，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是22221cos1sin155BB，22117cos22cos121525BB，221421sin22sincos25515BBB．sin2sin2coscos2sin666BBB42131712522521271750．（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B．由于事件AB，相互独立，且2327C1()C7PA，2329C5()C18PB，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126PABPAPB．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件CD，互斥，且1123442279CCC2()CC21PC，1125242275CCC10()CC63PD．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363PCDPCPD．（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）解：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB．又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB∠为PB和平面PAD所成的角．在RtPAB△中，ABPA，故45APB∠．所以PB和平面PAD所成的角的大小为45．（Ⅱ）证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA．由条件CDPC，PAACA，CD面PAC．又AE面PAC，AECD．由PAABBC，60ABC∠，可得ACPA．E是PC的中点，AEPC，PCCDC．综上得AE平面PCD．（Ⅲ）解：过点E作EMPD，垂足为M，连结AM．由（Ⅱ）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD．因此AME∠是二面角APDC的平面角．由已知，可得30CAD∠．设ACa，可得PAa，233ADa，213PDa，22AEa．在RtADP△中，AMPD，AMPDPAAD，则ABCDPEM232737213aaPAADAMaPDa．在RtAEM△中，14sin4AEAMEAM．所以二面角APDC的大小14arcsin4．（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设1431nnaan，得1(1)4()nnanan，n*N．又111a，所以数列nan是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14nnan，于是数列na的通项公式为14nnan．所以数列na的前n项和41(1)32nnnnS．（Ⅲ）证明：对任意的n*N，1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnnnSS21(34)02nn≤．所以不等式14nnSS≤，对任意n*N皆成立．（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：当1a时，232()(1)2fxxxxxx，得(2)2f，且2()341fxxx，(2)5f．所以，曲线2(1)yxx在点(22)，处的切线方程是25(2)yx，整理得580xy．（Ⅱ）解：2322()()2fxxxaxaxax22()34(3)()fxxaxaxaxa．令()0fx，解得3ax或xa．由于0a，以下分两种情况讨论．（1）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：x3a∞，3a3aa，a()a，∞()fx00因此，函数()fx在3ax处取得极小值3af，且34327afa；函数()fx在xa处取得极大值()fa，且()0fa．（2）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：xa∞，a3aa，3a3a，∞()fx00因此，函数()fx在xa处取得极小值()fa，且()0fa；函数()fx在3ax处取得极大值3af，且34327afa．（Ⅲ）证明：由3a，得13a，当10k，时，cos