2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第六章-第2讲-一元二次不等式及其解法

第2讲一元二次不等式及其解法1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．判别式Δ＝2b－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y2＝ax＋bx＋c(a0)的图象2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：x1,2＝－b±b2－4ac2aΔ0Δ＝0Δ0有两相异实根_________________没有实根一元二次不等式的解集2ax＋bx＋c0(a0){x|xx1或xx2}R2ax＋bx＋c0(a0){x|x1xx2}∅____(续表)若a＜0时,可以先将二次项系数a化成正数,对照上表求解．判别式Δ＝b2－4ac一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相同实根x1,2＝－b2axx≠－b2a∅1．(2015年广东广州第一次调研)不等式x2－2x－30的解集是________．2．不等式(x－1)x＋2≥0的解集是()A．{x|x1}B．{x|x≥1或x＝－2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥－2，且x≠1}(－1,3)B3．下列四个不等式中，解集为R的是()A．－x2＋x＋1≥0B．x2－25x＋5＞0C．x2＋6x＋10＞0D．2x2－3x＋4＜0C4．(2014年四川)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B)为整数集，则A∩B＝(A．{－1,0}C．{－2，－1,0,1}B．{0,1}D．{－1,0,1,2}解析：A＝{x|－1≤x≤2}，集合B为整数集，则A∩B＝{－1,0,1,2}．故选D.D考点1解一元二次、分式不等式例1：(1)(2013年广东)不等式x2＋x－20的解集为_______．解析：x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)0，－2x1.答案：(－2,1)(2)(2013年上海)不等式x2x－10的解集为________．解析：x2x－10⇔x(2x－1)0⇔x∈0，12.答案：0，12【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标准形式，即不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.【互动探究】1．(2014年广东广州水平测试)关于x的不等式2x2＋ax－a20的解集中的一个元素为1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－∞，－1)∪12，＋∞D.－1，12解析：不等式2x2＋ax－a20的解集中的一个元素为1，则有2＋a－a20，即a2－a－20，解得－1a2.故选B.B考点2含参数不等式的解法例2：解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋10.解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)0.(1)当a＝0时，x1；(2)当a0时，x1a或x1；(3)当a0时，上面不等式可化为x－1a(x－1)0.①当0a1时，1x1a；②当a＝1时，解集为∅；③当a1时，1ax1.综上所述，当a0时，不等式的解集为xx1a或x1；当a＝0时，不等式的解集为xx1；当0a1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.【规律方法】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于0，小于0，等于0)；②根据根的判别式讨论(Δ0，Δ＝0，Δ0)；③根据根的大小讨论(x1x2，x1＝x2，x1x2)．【互动探究】2．已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}．(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.解：(1)∵不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，∴x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1，且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a，解得a＝1，b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0，即x2－(2＋c)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0.当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为∅.综上所述，当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为∅.考点3一元二次不等式的应用例3：(2014年大纲)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1,2)上是增函数，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，令f′(x)＝3ax2＋6x＋3＝0，其判别式Δ＝36(1－a)，当a≥1时,Δ≤0,f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上是增函数；由于a≠0，当a1时，Δ0，f′(x)＝0有两个根，即x1＝－1－1－aa，x2＝－1＋1－aa.当0a1时，函数f(x)在区间－∞，－1－1－aa和－1＋1－aa，＋∞上单调递增，在区间－1－1－aa，－1＋1－aa上单调递减；当a0时，函数f(x)在区间－∞，－1＋1－aa和－1－1－aa，＋∞上单调递减，在区间－1＋1－aa，－1－1－aa上单调递增．(2)当a0，x∈(1,2)时，f′(x)＝3ax2＋6x＋30显然成立，所以函数f(x)在区间(1,2)上是增函数；当a0时，函数f(x)在区间(1,2)是增函数，当且仅当f′1≥0，f′2≥0，即3a＋6＋3≥0，12a＋12＋3≥0.解得a≥－3，a≥－54，即a∈－54，0.综上所述，a的取值范围为－54，0∪(0，＋∞)．【规律方法】含参数问题的分类讨论，其主要形式最终都转化成二次问题的分类讨论，分类讨论的一般情形为：①讨论二次项系数的正负a0，a＝0，a0；②讨论有根还是没有根Δ0，Δ＝0，Δ0；③讨论两根的大小x1x2，x1＝x2，x1x2；④讨论两根是否在定义域内.【互动探究】(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2013年江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)＝x2－4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为______________.解析：f(x)是定义在R上的奇函数．f(x)＝x2－4x，x0，0，x＝0，－x2－4x，x0.当x0时，f(x)＝x2－4xx，得x0(舍)或x5；当x＝0时，f(x)＝00，不成立；当x0时，f(x)＝－x2－4xx，x2＋5x0，－5x0.综上所述，x∈(－5,0)∪(5，＋∞)．●思想与方法●⊙利用转化与化归思想求参数的范围例题：已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意a∈[－1,1]，f(x)4恒成立，求实数x的取值范围．解：(1)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，即x2＋2x＋ax0，x∈[1，＋∞)恒成立．亦即x2＋2x＋a0，x∈[1，＋∞)恒成立．即a－x2－2x，x∈[1，＋∞)恒成立．即a(－x2－2x)max，x∈[1，＋∞)．又∵－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，当x＝1时，(－x2－2x)max＝－3，x∈[1，＋∞)，∴a－3.∴对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，实数a的取值范围为{a|a－3}．(2)要使当a∈[－1,1]时，f(x)4恒成立．即x2＋2x＋ax4，x∈[1，＋∞)恒成立．∴x2－2x＋a0对a∈[－1,1]恒成立．把g(a)＝a＋(x2－2x)看成a的一次函数，则使g(a)0对a∈[－1,1]恒成立的条件是g10，g－10.即x2－2x＋10，x2－2x－10.解得x1－2或x2＋1.又x≥1，∴x2＋1.故所求x的取值范围是(2＋1，＋∞)．【规律方法】在含有多个变量的数学问题中，选准“主元”往往是解题的关键.即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.如第1小问中x为变量关于x的二次函数，a为参数.第2小问中a为变量关于a的一次函数，x为参数.