第四章第三节

菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第三节平面向量的数量积菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量__________，记作a·b，即a·b＝___________．规定：零向量与任一向量的数量积为_______．(2)向量的投影：设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是________；向量b在a方向上的投影是_________．(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与______________________________的乘积．|a||b|cosθ|a||b|cosθ0|a|cosθ|b|cosθb在a的方向上的投影|b|cosθ菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝__________＝__________；(3)分配律：a·(b＋c)＝______________．λ(a·b)a·(λb)a·b＋a·c菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝____________数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝__________________a⊥b的充要条件a·b＝0_______________x21＋y21x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x1x2＋y1y2＝0菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）结论几何表示坐标表示|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤_________________x21＋y21·x22＋y22菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．若a·b＝b·c，则a＝c吗？【提示】不一定．b＝0时就不成立．2．(a·b)c＝a(b·c)一定成立吗？【提示】不一定成立．(a·b)c是与c平行的向量，a(b·c)是与a平行的向量．而a与c关系不确定，故(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．你能根据数量积的定义证明：－|a||b|≤a·b≤|a||b|吗？【提示】设向量a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，∵0≤θ≤π，∴－1≤cosθ≤1，∴－|a||b|≤a·b≤|a||b|.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】C1．(人教A版教材习题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝12，∴θ＝π3.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】|a·b|＝|a||b||cosθ|，故B错误．【答案】B2．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】D3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()A．2B.32C．－2D．－32【解析】b在a方向上的投影为|b|cos120°＝3×(－12)＝－32.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.【答案】D4．(2012·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－12C.12D．1菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）5．已知a＝(1，－3)，b＝(4，6)，c＝(2，3)，则(b·c)a等于()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78【解析】∵b·c＝4×2＋6×3＝26，∴(b·c)a＝(26，－78)．【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________．(2)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．【思路点拨】(1)把AB→，AC→用AM→，MB→或MC→表示；(2)建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)如图所示，AB→＝AM→＋MB→，AC→＝AM→＋MC→＝AM→－MB→，∴AB→·AC→＝(AM→＋MB→)·(AM→－MB→)＝AM→2－MB→2＝|AM→|2－|MB→|2＝9－25＝－16.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．又E在AB边上，故设E(t，0)(0≤t≤1)．则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)．故DE→·CB→＝1.又DC→＝(1，0)，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】(1)－16(2)11∴DE→·DC→＝(t，－1)·(1，0)＝t.又0≤t≤1，∴DE→·DC→的最大值为1.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本题(1)中用AM→、MB→表示AB→、AC→等．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．3．应当注意：(1)向量数量积a·b中的“·”既不能省略，也不能写成“×”；(2)向量的数量积满足“交换律”、“分配律”，但不满足“结合律”．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2013·长沙模拟)在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________．【解析】∵BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，∴点D是线段BC的中点，点E是线段CA的三等分点，以向量AB→，AC→作为基向量，∴AD→＝12(AB→＋AC→)，BE→＝23AC→－AB→，∴AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·(23AC→－AB→)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）＝13AC→2－12AB→2－16AB→·AC→，又|AB→|＝|AC→|＝1，且〈AB→，AC→〉＝π3.∴AD→·BE→＝13－12－16|AB→||AC→|cosπ3＝－14.【答案】－14菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2012·安徽高考)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．(2)(2013·郑州模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．【思路点拨】(1)求出a＋c的坐标后，利用(a＋c)·b＝0求出m；(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k的方程，进而解方程求k的值．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)a＋c＝(1，2m)＋(2，m)＝(3，3m)．∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝(3，3m)·(m＋1，1)＝6m＋3＝0，∴m＝－12.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2.(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0.(θ为a与b的夹角)∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.【答案】(1)2(2)1菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(1)非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常见的错误是不能利用条件判定a·b≠－1，导致求解受阻．2．(1)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.(2)a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，用之可解决几何问题中的线线垂直问题．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2012·江西高考)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________．【解析】设单位向量m＝(x，y)，则x2＋y2＝1，若m⊥b，则m·b＝0，即2x－y＝0，解得x2＝15，所以|x|＝55，|x＋2y|＝5|x|＝5.【答案】5菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．【思路点拨】平面向量数量积的定义→夹角公式→求模公式→面积公式菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(3)由(1)知，AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(1)在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式．如a2＝|a|2是正确的，而a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|都是错误的．(2)①研究向量的夹角应