全国高中数学联赛模拟试题(一)

全国高中数学联赛模拟试题(一)第一试一、选择题(共36分)1.在复平面上，非零复数z1，z2在以z=i对应的点为圆心，1为半径的圆上，21zz的实部为零，argz1＝π6，则z2＝()A.－32＋32iB.32－32iC.－32＋32iD.32－32i2.已知函数f(x)＝loga(ax2－x＋12)在[1，2]上恒正，则实数a的取值范围是()A.(12，58)B.(32，＋∞)C.(12，58)∪(32，＋∞)D.(12，＋∞)3.已知双曲线过点M(－2，4)和N(4，4)，它的一个焦点为F1(1，0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是()A.(x－1)225＋(y－4)216＝1(y≠0)或x＝1(y≠0)B.(x－1)216＋(y－4)225＝1(x≠0)或x＝1(y≠0)C.(x－4)225＋(y－1)216＝1(y≠0)或y＝1(x≠0)D.(x－4)216＋(y－1)225＝1(x≠0)或y＝1(x≠0)4.已知正实数a，b满足a＋b＝1，则M＝1＋a2＋1＋2b的整数部分是()A.1B.2C.3D.45.一条笔直的大街宽度为40米，一条人行横道穿过这条街，并与街道成一定的角度，人行横道长度为50米，与大街边缘结合部的宽度为15米，则人行横道的宽度为()A.9米B.10米C.12米D.15米6.一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n(n＞1)个车站，结果客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票)，那么原有车站的个数为A.12B.13C.14D.15()二、填空题(共54分)7.长方形ABCD的长AB是宽BC的23倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合，折痕线EF，GH分别交原来长方形对角线AC于M、N，则折后截面AMN与底面AFH所成的角是_____.8.在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且满足a2＋b2＝2c2，则角C的最大值是_____.9.从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器中倒出1升，然后加水填满，在倒出1升混合溶液后又加水填满，如此继续下去，则第n次操作后溶液的浓度为__________________.10.已知函数f(x)和g(x)的定义域均为非负实数集，对任意的x≥0，规定f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝2x＋5，则f(x)*g(x)的最大值是_________.11.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_______种不同的取法.12.若实数a＞0，则满足a5－a3＋a＝2的a值属于区间:①(0，63)；②(62，63)，③(63，＋∞)；④(0，32).其中正确的是_________________.三、解答题(共计60分)13.(20分)求证：经过正方体中心的任意截面的面积不小于正方体一个侧面的面积.14.(20分)直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)与椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2相交于P和Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，求证：a2b2c2＝a2＋b2A2＋B2.15.(20分)某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场的日营业额(每日卖出商品所收到的总金额)为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额需要售货员人数及每1万元营业额所得利润情况如表所示，商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c万元，且19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的营业额均为整数万元，问这个商场怎样分配营业额给三个部？各部分别安排多少名营业员？部门每1万元营业额需要售货员人数每1万元营业额所得利润(万元)百货部50.3服装部40.5家电部20.2第二试一、(50分)矩形ABCD的边AD＝λ·AB，以AB为直径在矩形外作半圆，在半圆上任取不同于A、B的一点P，连PC、PD交AB于E、F，若AE2＋BF2＝AB2，求正实数λ的值.二、(50分)若ai∈R＋(i＝1，2，……，n)，S＝n1iia，且2≤n∈N，求证：n1k2kn1kk3ka1n1aSa.三、(50分)无穷数列{cn}由下列法则定义：cn＋1＝|1－|1－2cn||，而0≤c1≤1(1)证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列；(2)存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T为周期(对于每个T＝2，3，……)?全国高中数学联赛模拟试题(一)参考答案第一试一、选择题1.A如图所示，设复数z1对应的点为Z1，则|OZ1|＝2sinπ6＝1，∴z1＝32＋12i再设z2＝x＋yi(x，y∈R)由|z2－i|＝1得x2＋(y－1)2＝1…………①∵(32－12i)(x＋yi)的实部等于0，∴3x＋y＝0…………②联立①②解得0y0x23y23x或(舍去)故z2＝－32＋32i2.C设g(x)＝ax2－x＋12，首先由g(x)＞0得a＞x－12x2＝－12x2＋1x当1≤x≤2时，(－12x2＋1x)max＝12从而a＞12，在此前提下，易知函数g(x)＝ax2－x＋12的对称轴x＝12a在区间[1，2]的左边，从而g(x)在[1，2]上是增函数.当a＞1时，f(x)在[1，2]上是增函数，有f(1)＝loga(a－1＋12)＞0，a＞32当12＜a＜1时，f(x)在[1，2]上是减函数，有y210Z1xf(2)＝loga(4a－2＋12)＞0，12＜a＜58综上：12＜a＜58或a＞323.A易知|MF1|＝|NF1|＝5而||MF1|－|MF2||＝||NF1|－|NF2||即|5－|MF2||＝|5－|NF2||当5－|MF2|＝5－|NF2|时，即|MF2|＝|NF2|时，点F2的轨迹是线段MN的中垂线，其方程为x＝1(y≠0)当5－|MF2|＝|NF2|－5时，即|MF2|＋|NF2|＝10时，点F2的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为(x－1)225＋(y－4)216＝1(y≠0)4.B一方面，M＞1＋0＋1＋0＝2另一方面，M＜1＋2a＋a2＋1＋2b＋b2＝1＋a＋1＋b＝2＋(a＋b)＝3所以，2＜M＜35.C如图，人行横道的面积S＝15×14＝600∴S＝50x＝600x＝126.C新增的n个车站之间需要Pn2种车票，新增的n个车站与原来的m个车站之间需要2mn种车票，从而Pn2＋2mn＝58，即n(n－1＋2m)＝58注意到n和n－1＋2m都是整数，而58只能分解为1×58和2×29两种情况，又n＞1所以n＝2，n－1＋2m＝29，或n＝29，n－1＋2m＝2，或n＝58，n－1＋2m＝1只有第一组有满足题意的解：n＝2，m＝14二、填空题7.π6；折叠后，仍然有AF＝FH＝HB(或HA，折叠后A点和B点重合)AM＝MN＝NC，且它们的长度没有变，仍然等于折叠前的长度，但对角线AC由直线段变成了折线段，A、M、N三点由原来共线变成了A、M、N三点构成三角形.设AD＝a，则AB＝23a，图(1)为折叠前的长方形，有AC＝13a，AM＝MN＝133a，AF＝FH＝HB＝233a，MF＝a3，HN＝2a3.1540505015xABCDFH(1)EGMN(2)ADFHEGMNP设平面AMN与平面AFH的夹角为θ(图(2))，由S△AFH＝12×233a×233a×sin60º＝33a2.在Rt△NHA中，AN＝(233a)2＋(23a)2＝4a3取AN的中点P，∵AM＝MNMP⊥AN在Rt△MPA中，MP＝(133a)2－(23a)2＝a∴S△AMN＝a2×4a3＝2a23∴cosθ＝S×AFHS△AMN＝32，∴θ＝π68.π3；∵a2＋b2＝2c2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a2＋b222ab＝a2＋b24ab∴a2－4abcosθ＋b2＝0即(ab)2－(4cosC)ab＋1＝0(∵b≠0)因为ab是正实数，所以4cosC＞0且△≥0解得：cosC≥12，所以C≤π39.(1－1a)n；开始浓度为1，操作一次后溶液浓度为a1＝1－1a，设操作n此后的溶液浓度为an，则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an(1－1a)∴{an}是首项、公比均为1－1a的等比数列，∴an＝a1qn－1＝(1－1a)n10.23－1；∵x≥0，令3－x＞2x＋5，解得0≤x≤4－23所以f(x)*g(x)＝324xx3324x05x2∵3－x在R上单调递减，故当x≥4－23时，f(x)*g(x)≤f(4－23)*g(4－23)＝3－(4－23)＝23－1当0≤x＜4－23时，2x＋5单调递增，故当x∈[0，4－23)时，f(x)*g(x)＜2·(4－23＋5)＝23－1综上所知，f(x)*g(x)的最大值为23－111.2500；以1为被加数，则1＋100＞100，有1种取法，以2为被加数，则2＋100＞100，2＋99＞100，有2种取法，依次可得，被加数为n(n∈N，n≤50)时，有n种取法，但51为被加数时，要扣除前面已取过的情况，只能取52，53，……，100，有49种取法，同理，被加数为52时，有48种取法，依次可得，当被加数为n(n∈N，51≤n≤100)时，分别有100－n种取法，所以，不同的取法共有(1＋2＋3＋……＋50)＋(49＋48＋……＋1)＝2500种12.③④∵a6＋1＝(a2＋1)(a4－a2＋1)＝a2＋1a(a5－a3＋a)＝2(a＋1a)，(a≠0)∵a＞0且a≠1，∴a6＋1＞4，∴a6＞3，即a＞63又a5－a3＋a＝2，∴2a3＋1＝a2＋1a2＞2∴a3＜2，即a＜32，综合可知，应填③④三、13．显然，所作截面是一个中心对称的凸多边形，它是一个四边形或六边形.如果截面是一个四边形，那么它一定没有截到立方体的某一组对面，其面积不小于这组对面中的一个，命题成立.如果截面是一个六边形，那么它一定截到了正方体的六个面，将立方体展开在一个平面上，如图，设界面的周长为l，正方体的棱长为a，则l≥|AB|＝(3a)2＋(3a)2＝32a由于正方体的中心是内切球的球心，所以截面内含有半径为a2的圆，从而有S截面≥12·a2l≥324a2＞a214．将Ax＋By＋C＝0变形为1＝－Ax＋ByC，代入椭圆方程，得b2x2＋a2y2＝a2b2(－Ax＋ByC)2整理得：(a2b2B2－a2C2)y2＋2ABa2b2xy＋(a2b2A2－b2C2)x2＝0当x＝0时，显然成立；当x≠0时，同除以x2得：(a2b2B2－a2C2)(yx)2＋2ABa2b2(yx)＋(a2b2A2－b2C2)＝0该方程的两根为OP，OQ的斜率，∵OP⊥OQ，所以－1＝a2b2A2－b2C2a2b2B2－a2C2，即a2b2c2＝a2＋b2A2＋B215．设分配给百货、服装、家电营业额分别为x，y，z(万元)，(x，y，z是正整数)，则2x25zx2335y7.19c19z2.0y5.0x3.0c190z2y4x560zyx由①②得④③②①所以c＝0.3＋0.5(35－3x2)＋0.2(25＋x2)＝22.5－0.35x代入④得8≤x≤10，∵x，y，z必为正整数，60z280y450x558z292y440x530z20y10x29z23y8x或或第二试一、如图，过P点作PG⊥AB，垂足为G，不失一般性，设AB＝2，则AD＝2λ再设PG＝h，∠PDA＝α，PCB＝β，则AE＝AB－BE＝2－2λtanβBF＝AB－AF＝2－2λtanα∵(2λ＋h)tanα＋(2λ＋h)tanβ＝2∴tanα＋tanβ＝22λ＋h……①又(2λ＋h)tanα(2λ＋h)tanβ＝h2∴tanαtanβ＝h2(2λ＋h)2……②∵AE2＋BF2＝(2－2λtanα)2＋(2－2