高三级数学选修导数与复数测试题

高三级数学选修导数与复数测试题时间：120分钟满分：150分姓名一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．函数y=(1－sinx)2的导数是（）A.y=2sin2x-cosxB.y=sin2x+2cosxC.y=2sin2x-2cosxD.y=sin2x-2cosx2．设20)2(,)2()(2faxxf，则a等于（）A.-1B.1C.0D.任意实数3．复数133ii等于（）A．iB．iC．3iD．3i4．函数xf=2008x，则12007'12008f=（）A.0B.1C.2006D.20075.（2008重庆卷4)已知函数y=13xx的最大值为M,最小值为m,则mM的值为()A．14B.12C.22D.326．曲线xxy2212在点(1，23)处切线的倾斜角为（）A.1B.45C.45D.1357．2()fxaxbxc的图象开口向上，且顶点在第二象限，则()yfx的图象大概是（）8．设()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()()0fxxfx，且(1)0f，则不等式()0xfx的解集为（）A．（－1，0）∪（1，+）B．（－1，0）∪（0，1）C．（－，－1）∪（1，+）D．（－，－1）∪（0，1）9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）fx（）0，则必有（）A.f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C.f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）10．函数xxxfln2)(2的单调减区间是（）A．]1,0(B．),1[C．]1,(及]1,0(D．]1,0()0,1[及11．已知11mnii，mni其中，是实数，是虚数单位，mni则（）A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2Axy0yyyxxxBCD00012．已知f＇（0）=2，则lim0hhh）f（h）3f（=（）A．4B．－8C．0D．8二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分13．已知函数fx在R上可导，函数2244Fxfxfx，则'2F14．f（x）=1+3sinx+4cosx取得最大值时tanx=15．设x、y为实数，且iiyix315211，则x+y=_________16．（2008江苏卷14）331fxaxx对于1,1x总有fx≥0成立，则a=三、解答题：本大题共6小题，共74分17．（12）已知2coslnfxx，求'1f的值。18．（12）（20008全国Ⅰ卷19）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．19．（12）已知函数xaxxf2ln22,(aR),设曲线xfy在点(11f)处的切线为l,若l与圆C:4122yx相切，求a的值20．（12）有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记2CDx，梯形面积为S．（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值．4rCDAB2r21．（12）已知函数).(ln21)(2Raxaxxf（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求证：x1时，.32ln2132xxx22．（2008天津卷21）（14分）已知函数432()2fxxaxxb（xR），其中Rba,．（Ⅰ）当103a时，讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a，不等式1fx在[1,1]上恒成立，求b的取值范围．（导数与复数）参考答案一DBABCDCACACD二13.014.4315.416.4三．17．解：'12coslnsinlnfxxxx=1sin2lnxx'10f18．解：解：（1）32()1fxxaxx求导：2()321fxxax当23a≤时，0≤，()0fx≥，()fx在R上递增当23a，()0fx求得两根为233aax即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增（2）2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥19．解：依题意有：1f=a,xf'=2ax+22x(x2)l方程为ayxa212=0l与圆相切11422aa=21a=81120．解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图），则点C的横坐标为x．点C的纵坐标y满足方程22221(0)4xyyrr≥，解得222(0)yrxxr221(22)22Sxrrx222()xrrx，CDABOxy其定义域为0xxr．（II）记222()4()()0fxxrrxxr，，则2()8()(2)fxxrrx．令()0fx，得12xr．因为当02rx时，()0fx；当2rxr时，()0fx，所以12fr是()fx的最大值．因此，当12xr时，S也取得最大值，最大值为213322frr．即梯形面积S的最大值为2332r．21．解1）依题意知函数的定义域为x0.xaxxf)(，所以，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为（0，+∞）当0a时，xaxaxxaxxf))(()(，令0)(xf，有ax；所以函数f(x)的单调递增区间为),(a；令0)(xf，有.0ax所以函数f(x)的单调递减区间为),0(a.（2）设.12)(,ln2132)(223xxxxgxxxxg1x当时，0)12)(1()(2xxxxxg，所以g(x)在（1，+∞）上是增函数，.061)1()(gxg∴当x1时，.32ln2132xxx22．（Ⅰ）解：322()434(434)fxxaxxxxax．当103a时，2()(4104)2(21)(2)fxxxxxxx．令()0fx，解得10x，212x，32x．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,0)01(0,)2121(,2)22(2,)()fx－0＋0－0＋()fx↘极小值↗极大值↘极小值↗所以()fx在1(0,)2，(2,)内是增函数，在(,0)，1(,2)2内是减函数．（Ⅱ）解：2()(434)fxxxax，显然0x不是方程24340xax的根．为使()fx仅在0x处有极值，必须24403xax成立，即有29640a．解些不等式，得3838a．这时，(0)fb是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是88[,]33．（Ⅲ）解：由条件[2,2]a，可知29640a，从而24340xax恒成立．当0x时，()0fx；当0x时，()0fx．因此函数()fx在[1,1]上的最大值是(1)f与(1)f两者中的较大者．为使对任意的[2,2]a，不等式()1fx在[1,1]上恒成立，当且仅当111))1((ff，即22baba，在[2,2]a上恒成立．所以4b，因此满足条件的b的取值范围是(,4]．由(1)知ana1nnnaafa(Nn)故对任意正整数n都有anan+1。