定积分的性质

一、基本性质二、积分中值定理§9.4定积分的性质对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、基本性质babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(01lim()niiTikfx01lim()niiTikfx01lim()niiTikfx.)(badxxfk性质1证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设bca性质3dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10.0)(badxxf性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx性质5的推论：证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)(.)(ba证,)()()(xfxfxf,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa即dxxfba)(dxxfba)(.说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的性质5的推论：（2）设M及m分别是函数证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质6例2估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例3估计积分dxxx24sin的值.解,sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx]2,4[x,0)(xf在]2,4[上单调下降,故4x为极大点，2x为极小点,,22)4(fM,2)2(fm,442ab,422sin4224dxxx.22sin2124dxxx如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证Mdxxfabmba)(1)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba定理9.7（积分第一中值定理）积分中值公式二定积分中值定理在区间],[ba上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.)(ba在区间],[ba上至少存在一个点，即积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。例4设)(xf可导，且1)(limxfx，求dttfttxxx2)(3sinlim.解由积分中值定理知有],2,[xx使dttfttxx2)(3sin),2)((3sinxxfdttfttxxx2)(3sinlim)(3sinlim2f)(3lim2f.62.推广的积分第二中值定理定理9.8设)(xf，)(xg和)()(xgxf在],[ba可积，)(xg在],[ba不变号，)(infxfmbxa，)(supxfMbxa，则存在，Mm，使得babadxxgdxxgxf)()()(证不妨设0)(xg，则)()()()(xMgxgxfxmg，由积分不等式，我们有bababadxxgMdxxgxfdxxgm)()()()(若0)(badxxg，取任意都行.若0)(badxxg，令babadxxgdxxgxf)()()(即可.推论1若)(xf在],[ba连续，)(xg在],[ba上可积，不变号，则],[ba，使得babadxxgfdxxgxf)()()()(推论1是推广的积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。推论2若)(xf在],[ba连续，则存在),(ba，使得))(()(abfdxxfba.推论2的结论中要求),(ba，证明还需要作点加工：若f为常数，结论显然；若f非常数，则21,xx，使得Mxf)(1，mxf)(2且，)()(21xfxf，还可找到0，使得0)(xfM，1xx；0)(mxf，2xx.所以)()()(abMdxxfabmba，取badxxfab)(1，Mm，所以),(ba，使得)(f.１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．三、小结作业P2191-6.思考题定积分性质中指出，若)(),(xgxf在],[ba上都可积，则)()(xgxf或)()(xgxf在],[ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？思考题解答由)()(xgxf或)()(xgxf在],[ba上可积，不能断言)(),(xgxf在],[ba上都可积。为无理数，为有理数xxxf0,1)(为无理数，为有理数xxxg1,0)(显然)()(xgxf和)()(xgxf在]1,0[上可积，但)(),(xgxf在]1,0[上都不可积。例