长沙市长郡教育集团2013-2014学年初三下期中考试数学试卷

长郡教育集团2013-2014-2初三年级统一考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确的选项，请把正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上．1．31的倒数是()A．3B．－3C．31D．312．下列运算正确的是().A.532aaaB.632aaaC.6328)2(aaD．248aaa3.南海资源丰富,其面积约为350万平方千米,相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍.其中350万用科学记数法表示为()A.3.6510B.3.7510C.0.83510D.3.95104.连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．5.不等式组2142xx的解集在数轴上表示为（）ABCD6．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）A．B．C．D．7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形8.A、B两地相距10千米,甲、乙二人同时从A地出发去B地,甲的速度是乙的速度的2倍,圆柱正方体圆锥球12121212结果甲比乙早到13小时.设乙的速度为x千米/时,则可列方程为()A.1010123xxB.1010123xxC.101123xxD.1011032xx9.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=51，则AD的长为()A．2B.3C.2D.110．给出四个命题：①正八边形的每个内角都是135°；②半径为1cm和3cm的两圆内切，则圆心距为4cm；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°；④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋12=0的两个根，则它外接圆的半径长为2.5以上命题正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.如果﹣2+△=﹣8，则“△”表示的数应是．12.一元二次方程0)1(xx的解是．13.因式分解：3a2﹣3=．14．函数13xxy的自变量x的取值范围是．15.新概念：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程11x+1m=1的解为．16．如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是17．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，若β=110°，求α=度．18．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③EFOGDOGSS四边形；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG。其中一定正确的是三、解答题19、计算：30tan3312014231020、先化简,再求值：222344322aaaaaaa，其中22a．21、长沙市某实验中学为了解学生最喜欢的球类运动，对足球、乒乓球、篮球、排球四个项目进行了调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图（说明：每位同学只选一种自己最喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）求这次接受调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中喜欢排球的圆心角度数；（3）若调查到爱好“乒乓球”的5名学生中有3名男生，2名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求出刚好抽到一男一女的概率．22、如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．23、如图在Rt△ABC中90A,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且45AED.(1)求证:△ABE∽△ECD.(2)若42ABBE求AD的长及△ADE的面积.(3)当BC=4,在BC上是否存在点E,使得△ADE为等腰三角形?若存在,请求出EC的长;若不存在,请说明理由.24、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．25．长沙黄花国际机场是中南地区三大航空枢纽之一，也是国家大型枢纽机场，2013年旅客吞吐量超过1600万人次．南方航空公司有一个航班每天从长沙飞往北京，从2014年1月21日开始，每天该航班乘坐人数y（人）与天数x（天）（1≤x≤10，且为整数）之间有如下表格关系：x1234…y210200190180…每天航班乘坐人数y与天数x（11≤x≤15，且为整数）有如下图象关系：（1）请根据表格和图象直接写出y与x之间的关系式．（2）航班的机票价格包括了机场建设费和燃油附加费．其中国内航线的机场建设费是每人50元，出境国际航班的机场建设费是每人90元．从长沙飞往北京的这个航班，由于乘机人数的变化．机票价格也随之发生改变，在春节前10天（1≤x≤10），每张机票价格m（元）与人数y（人）有如下关系：m=-5y+1450；春节后5天（11≤x≤15），每张机票价格n（元）与人数y（人）有如下关系：n=y+1290．试求出当x取第几天时，航空公司的总收入最大？（航空公司每张机票收入=机票价格-机场建设费）（3）到第16天，由于迎来春节放假返程高峰，在每张机票价格与第（2）问中最大收益当天机票价格相同的情况下，乘机人数却比这一天增加了2a%．同时由于热门电视剧《来自星星的你》的热播，很多旅客选择春节后前往韩国首尔旅游，南方航空也在第16日开通长沙飞往韩国首尔的航班，每张机票在1500元的基础上降低了0.5a%，出境旅游人数却比第15日前往北京的人数多3a%．当第16日南方航空公司总计收入为920400元时，试估算a（0＜a＜30）的整数值（参考数据：652=4225，662=4356，672=4489，682=4624）26、如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-4x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于点E、F，交△CMD的边CM、CD于点G、H（G点不与M点重合、H点不与D点重合）.①问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②S四边形MDHG，S△CGH分别表示四边形MDHG和△CGH的面积，试探究MDHGSS四边形ＣＧＨ的最大值．长郡教育集团2013-2014-2初三年级统一考试数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）BCACBCDAAB二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11．-612．120,1xx13．3(a+1)(a-1)14．3x且x-115．x=316.0.517．2018．①②④三、解答题19解：原式=3-2+1+3+3（每对一项得1分）=6（6分）20解：原式=2222222)3()2()2()3(2aaaaaaaaaaa（4分）当22a时，原式=22-122-22-2-2（6分）21解：（1）∵喜欢足球的有40人，占20%，∴一共调查了：40÷20%=200（人），（1分）∵喜欢乒乓球人数为60（人），∴所占百分比为：×%=30%，∴喜欢排球的人数为：200×（1﹣20%﹣30%﹣40%）=20（人），（2分）由以上信息补全条形统计图（3分）（2）喜欢排球的百分比为：×%=10%，∴占的圆心角为：10%×360°=36°；（4分）（3）由图可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）=．（8分）22、（1）证明：∵AF∥CE∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠ECD∵AD=CD∴△ADF≌△CDE∴AF=CE（4分）（2）四边形AFCE正方形（5分）证明：∵△ADF≌△CDE∴DF=DE∵DA=DC∴四边形AFCE是平行四边形∵AC=EF∴四边形AFCE是矩形∵∠ACB=135°，∴∠ACE=45°，∵DC=DE∴∠CDE=90°∴四边形AFCE正方形（8分）23.解:(1)∵在Rt△ABC中90A,AB=AC,∴45BC.∵45AECBBAEAEDCEDAED,∴BAECED∴△ABE∽△ECD,（3分）(2)∵在Rt△ABC中90A,AB=AC=4,∴42BC.∵2BE∴32EC.又∵△ABE∽△ECD,∴ABBEECCD即2432CD∴32CD∴52ADACCD.过点E作EFAD于点F,则EF∥AB,∴EF∶AB=EC∶BC=3∶4,∴EF=3,∴51512243ADES.（6分）(3)存在.分三种情况讨论:①当AE=AD时,EC=BC=4;②当AE=DE时,由△ABE∽△ECD可知,△ABE≌△ECD,∴2222ECABBC;③当AD=DE时,△AED为等腰直角三角形,且90ADE,∴122ECBC.（9分）24、(1)证明:在△OCP和△CEP中,∵∠POC=∠PCE,∠OPC=∠CPE,∴△COP∽△ECP.∴∠OCP=∠CEP.∵CD⊥AB,∴∠CEP=90°.∴∠OCP=90°.又∵OC是⊙O的半径∴PC为⊙O的切线.（3分）(2)解:设OE=x,则EA=2x,OA=OC=3x.∵∠COP=∠PCE,∴sin∠OPC=sin∠OCE,即=,解得x=1.∴OA=3.（6分）(3)解:∵∠OCP=90°,∴∠PCA+∠ACO=90°.∴sin∠PCA=cos∠ACO.又OA=OC,∴∠ACO=∠CAO.∴sin∠PCA=cos∠CAO.而AE=2,OE=1,OC=3,∴=.而cos∠CAO===,即sin∠PCA=.（9分）25．解：（1）当1≤x≤10，且为整数时设y与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1，当11≤x≤15，且为整数时，设y与x之间的函数关系式为y2=k2x+b2，由题意，得210＝k1+b1解得：k1＝−10236＝11k2+b2解得：k2＝6200＝2k1+b1b1＝220260＝15k2+b2b2＝170∴y1=-10x+220（1≤x≤10，且为整数），y2=6x+170（11≤x≤15，且为整数），∴y=−10x+220(1≤x≤10，且为整数)y=6x+170(11≤x≤15，且为整数)（3分）（2）设航空公司的总收入为W元，由题意，得∵m=-5y+1450，∴m=-5（-10x+220）+1450=50x+350．（1≤x≤10，且为整数）∵n=y+1290，∴n=6x+170+1290=6x+1460，（11≤x≤15，且为整数）当1≤x≤10，且为整数时，W1=（50x+350-50）（-10x+220）=-500（x-8）2+98000，∵a=-500＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=8，∴当x=8时，W1=98000，（5分）当11≤x≤15，且为整数时，W2=（6x+1460-50）（6x+170）=36（x+790