补偿需求曲线

1第5讲收入效应和替代效应2需求函数•x1,x2,…,xn的最优水平可以表示为所有商品价格和收入的函数。•可以表示为n个这种形式的需求函数:x1*=d1(p1,p2,…,pn,I)x2*=d2(p1,p2,…,pn,I)•••xn*=dn(p1,p2,…,pn,I)3需求函数•如果仅仅存在两种商品(x和y),我们可以简化表达式x*=x(px,py,I)y*=y(px,py,I)•价格和收入是外生的–消费者无法控制这些参数4齐次性•如果我们将价格和收入同时增加一倍,最优需求数量不会改变–预算约束没有变xi*=di(p1,p2,…,pn,I)=di(tp1,tp2,…,tpn,tI)•单个消费者的需求函数对于所有价格和收入是零次齐次的5齐次性•考虑柯布－道格拉斯效用函数效用=U(x,y)=x0.3y0.7需求函数是•可以观察到价格和收入全部翻番不会影响x*和y*xpxI3.0*ypyI7.0*6齐次性•考虑CES效用函数效用=U(x,y)=x0.5+y0.5需求函数是•可以观察到价格和收入全部翻番不会影响x*和y*xyxpppxI/11*yxypppyI/11*7收入变化•收入增加会引起预算约束线向外平移。•因为px/py没有改变,当消费者获得更高满足水平的时候MRS保持不变。8收入增加•如果随着收入的增加，x和y的消费量增加,x和y为正常商品x的数量y的数量CU3BU2AU1随着收入增加,消费者选择消费更多的x和y9收入增加•如果随着收入增加，x的消费量下降，x为劣等品x的数量y的数量CU3随着收入上升，消费者选择消费更少的x和更多的y。注意，无差异曲线没有展示“奇怪的”形状。递减的MRS仍然成立。BU2AU110正常和劣等品•在某个收入区间，商品xi满足xi/I0，这种商品是在这个区间的正常品。•在某个收入区间，商品xi满足xi/I0，这种商品是在这个区间的劣等品。11一种商品价格变化•一种商品价格的变化改变预算约束线的斜率–这也将会改变消费者效用最大化选择时候的MRS•当价格变化的时候，产生两种效应–替代效应–收入效应12一种商品价格变化•当价格发生变化的时候，即使消费者的无差异曲线不发生改变,他的最优选择也会发生变化，因为MRS必须等于新的价格比–替代效应•价格变化改变了消费者的“真实”收入，因此会移向新的无差异曲线–收入效应13一种商品价格变化x的数量y的数量U1A假设消费者在A点获得最大效用。U2B如果x价格下降,消费者在B点获得最大效用x的总增加量14一种商品价格变化U1x的数量y的数量A为了分离出替代效应,我们维持“真实”收入水平不便，但是允许商品x的相对价格变化替代效应C替代效应是从A点向C点的运动消费者用商品x替代商品y，因为现在商品x相对便宜15一种商品价格变化U1U2x的数量y的数量A收入效应发生的原因是消费者的“真实”收入随着商品x价格变化而变化C收入效应B收入效应是从C点向B点移动如果x是正常品,消费者将会购买更多这种商品，因为“真实”收入增加16一种商品价格变化U2U1x的数量y的数量BA商品x价格上升意味着预算约束线更加陡峭C替代效应是从A到C替代效应收入效应收入效应是从C到B17正常品的价格变化•如果商品是正常品,替代效应和收入效应相互加强–当价格下降,两种效应都会导致需求数量上升–当价格上升,两种效应都会导致需求数量下降18劣等品的价格变化•如果商品是劣等品,替代效应和收入效应方向相反•总效应方向不确定–当价格上升,替代效应导致需求数量下降,但是收入效应相反–当价格下降,替代效应导致需求数量上升,但是收入效应相反19吉芬悖论•如果一种商品价格变化的收入效应足够强,那么价格和需求数量将呈现正向关系–价格上升导致真实收入下降–因为是劣等品,收入下降引起需求数量上升20概括•效用最大化意味着(对于正常品)价格下降导致需求数量上升–替代效应引起消费者沿着无差异曲线运动，购买量上升–收入效应引起购买量增加，因为购买力的上升允许消费者移向更高的无差异曲线21概括•效用最大化意味着(对于正常品)价格上升导致需求数量下降–替代效应引起消费者沿着无差异曲线运动，购买量下降–收入效应引起购买量下降，因为购买力的下降导致消费者移向更低的无差异曲线22概括•效用最大化(对于劣等品)对于价格变化的后果难以作出确定性的预测–替代效应和收入效应移动方向相反–如果收入效应超过替代效应,我们就会看到吉芬悖论23消费者的需求曲线•一个消费者对于x的需求依赖于偏好、所有商品价格和收入:x*=x(px,py,I)•如果假定收入和y的价格(py)不变，那么那么可以很方便地画出x的需求曲线24x…x的需求数量上升.消费者的需求曲线y的数量x的数量X的数量pxx’’px’’U2x2I=px’’+pyx’px’U1x1I=px’+pyx’’’px’’’x3U3I=px’’’+py随着x的价格下降...25消费者的需求曲线•消费者的需求曲线表示了一种商品的价格和这种商品购买数量之间的关系，此时假定其他影响需求的因素保持不变26需求曲线的移动•推导需求曲线的时候三个因素保持不变–收入–其他商品的价格(py)–消费者的偏好•如果上述任何一个因素变化了,需求曲线将会移动到新的位置27需求曲线的移动•沿着一条给定的需求曲线移动是因为这种商品的价格发生了变化–需求量的变化•需求曲线的移动由收入、其他商品价格或者偏好的变化所引起–需求的变化28需求函数和曲线•如果消费者的收入是￥100,这些函数变为xpxI3.0*ypyI7.0*•我们在前面发现xpx30*ypy70*29需求函数和曲线•收入的任何变化将会移动这些曲线30补偿需求曲线•沿着需求曲线，消费者的效用发生变化•随着x价格下降,消费者移向更高的无差异曲线–推导需求曲线的时候假设名义收入不变–这意味着随着x的价格下降，“真实”收入上升31补偿需求曲线•一种不同的方法是保持真实收入(或者效用)不变，考虑对于px变化的反应–价格变化的效应被“补偿了”，使得消费者还是停留在同一条无差异曲线上–对于价格变化的反应仅仅包括替代效应32补偿需求曲线•补偿(希克斯)需求曲线表示了一种商品价格和购买数量之间的关系，此时假设其他商品价格和效用水平不变•补偿需求曲线是补偿需求函数的二维表示x*=xc(px,py,U)33xc…需求数量上升补偿需求曲线y的数量x的数量x的数量pxU2x’’px’’x’’''xypp斜率x’px’'xypp斜率x’x’’’px’’’'''xypp斜率x’’’保持效用不变,随着价格下降...34补偿和非补偿需求x的数量pxxxcx’’px’’在px’’,两条曲线相交，这因为此时消费者的收入恰好足以获得效用水平U235补偿和非补偿需求x的数量pxxxcpx’’x*x’px’如果价格高于px2,需要补偿的收入是正的，这因为消费者需要帮助才能留在U236补偿和非补偿需求x的数量pxxxcpx’’x***x’’’px’’’如果价格水平px2,需要补偿的收入是负的以阻止因为价格下降导致的效用上升37补偿和非补偿需求•对于正常商品,相对于非补偿需求曲线，补偿需求曲线对于价格变化的反应较小–非补偿需求曲线反映了收入效应和替代效应–补偿需求曲线仅仅反映了替代效应38补偿需求函数•假设效用函数为效用=U(x,y)=x0.5y0.5•马歇尔需求函数是x=I/2pxy=I/2py•间接效用函数是0.50.5(,,)2xyxyVpppp效用II39补偿需求函数•为了获得补偿需求函数,我们从间接效用函数中解出I，然后替换进马歇尔需求函数5.05.0xypVpx5.05.0yxpVpy40补偿需求函数•需求现在依赖于效用(V)而不是收入•px的上升减少x的需求数量–仅仅是替代效应5.05.0xypVpx5.05.0yxpVpy41价格变化的数学考察•我们的目标是考察商品x的购买数量如何随着px的变化而变化x/px•对效用最大化的一阶条件求微分，可以获得这个导数•不过,这种方法很累赘，同时难以提供什么经济含义42价格变化的数学考察•事实上,我们可以利用间接的方法•回忆一下支出函数最小支出=E(px,py,U)•那么,根据定义xc(px,py,U)=x[px,py,E(px,py,U)]–当收入恰好是获得所要求的效用需要满足的收入的时候，两个需求函数的需求数量相等43价格变化的数学考察•我们可以对两边微分xc(px,py,U)=x[px,py,E(px,py,U)]xxxcpEExpxpxxxcxpEExpxpx44价格变化的数学考察•第一项是补偿需求曲线的斜率–替代效应的数学表示xxcxpEExpxpx45价格变化的数学考察•第二项测量了px变化通过改变购买力所影响的对x的需求数量–收入效应的数学表示xxcxpEExpxpx46斯卢茨基方程•替代效应可以写成cxxUxxpp常数替代效应•收入效应可以写成xxxExEEpp收入效应I47斯卢茨基方程•注意E/px=x–px上升￥1，需要支出增加￥x–额外的￥1必须支付给每一购买的x48斯卢茨基方程•效用最大化假说表明来自于价格变化的替代效应和收入效应可以表示为xxxUxpxxxxpp常数替代效应收入效应I49斯卢茨基方程•第一项是替代效应–如果MRS是递减的，那么总是负的–补偿需求曲线的斜率一定是负的xxUxxxxpp常数I50斯卢茨基方程•第二项是收入效应–如果x是正常品,那么x/I0•总收入效应是负的–如果x是劣等品,那么x/I0•总收入效应是正的xxUxxxxpp常数I51斯卢茨基分解•我们可以利用柯布——道格拉斯效用函数来说明价格效应的分解•商品x的马歇尔需求函数是xyxpppxII5.0),,(52斯卢茨基分解•商品x的希克斯(补偿)需求函数5.05.0),,(xyyxcpVpVppx•价格变化对于x需求的总效应是s25.0xxppxI53斯卢茨基分解•总效应是斯卢茨基识别的两种效应的总和•通过对补偿需求函数求导可以获得替代效应0.51.50.5cyxxVpxpp替代效应54斯卢茨基分解•我们可以带入间接效用函数(V)0.50.50.51.520.5(0.5)0.25xyyxxppppp替代效应II55斯卢茨基分解•收入效应的计算比较容易20.50.50.25xxxxxppp收入效应III•有趣的是,替代效应和收入效应相同56马歇尔需求弹性•大多数经常使用的需求弹性来自于马歇尔需求函数x(px,py,I)•需求的价格弹性(ex,px)xppxppxxexxxxpxx//,57马歇尔需求弹性•需求的收入弹性(ex,I)xxxxexIIIII//,•需求的交叉价格弹性(ex,py)xppxppxxeyyyypxy//,58需求的价格弹性•需求的自身价格弹性总是负的–唯一的例外是吉芬悖论•弹性的大小很重要–如果ex,px-1,需求富有弹性–如果ex,px-1,需求无弹性–如果ex,px=-1,需求就有单位弹性59价格弹性和总支出•在商品x上的总支出等于总支出=pxx•利用弹性,我们可以确定商品x价格发生变化之后，总支出怎么变化]1[)(,xpxxxxxexxpxppxp60价格弹性和总支出•这个导数的符号取决于ex,px大于还是小于-1–如果ex,px-1,需求缺乏弹性，价格和总支出变化方向相同–如果ex,px-1,需求富有弹性，价格和总支出变化方向相反]1[)(,xpxxxxxexxpxppxp61补偿价格弹性•基于补偿需求函数定义弹性有时候也是有用的62补偿价格弹性•如果补偿需求函数是xc=xc(px,py,U)我们可以计算–补偿需求