中考数学复习微专题：《最短路径问题》的反思及应用

;《最短路径问题》的反思及应用我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。学生对于课本上例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。有这样一个问题：如图1所示，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?分析我们把河边近似看做一条直线l(如图2)，P为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点P在直线l的什么位置时，AP与PB的和最小。如图3所示，作点B关于直线l的对称点'B，连接'AB，交直线l于点P，则点P就是牧马人到河边饮马的位置。事实上，点'B与点A的线段'AB最短，由对称性质知，'PBPB，因为''PAPBPAPBAB，即点P到点A、B的距离之和最小。上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想，对称思想。如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解。一、基本应用如图4，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若3BC，则折痕CE的长为多少?分析沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，则点B、点O关于直线CE对称，;3COCB，1122ACB，点O是矩形ABCD的中心，知26ACCO。所以12302ACB，又在RtCBE中，30BCE，3BC，若设BEx，则2CEx，得222(2)3xx，13x，23x（舍去），所以223CEx。二、拓展应用如图5两条公路BA、BC相交于点B，在两条公路之间的P点有一个油库，若要在公路BA、BC上各设置一个加油站Q和R，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站Q(或R)，再到另一个加油站R(或Q)，最后回到油库所走的路程最短，即PQQRRP最小。分析要比较封闭曲线间的长度大小是有些困难的，我们仍然利用轴对称的方法，找到P关于BA、BC的对称点'P、''P，连接'''PP，由对称性易知：'PQPQ，''PRPR，此时'''PQQRRPPQRQPR，欲使PQQRRP最小，应在'PP，上取Q、R点为'PP分别与AB、CB的交点，此时PQR的周长最小。三、灵活运用如图6，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外点A爬到桶内点B去寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD弧长为15cm，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走?;分析将圆柱侧面展开得如图7，这样所求问题可化为在CD上求一点P，使得PAPB最小，因此，作点B关于CD的对称点'B，连接'AB，交CD于点P，线段'AB就是最短的路线长，即蚂蚁应该沿AP到PB的路线走最短。过'B作'BEAC交AC的延长线于E，则20AEcm，'15BEcm，根据勾股定理得'25AB。故蚂蚁爬行的最短路线为25cm。本题将该模型思想迁移到空间几何问题中运用，其解决问题的基本思路是“化曲为平”，把立体几何问题转化为平面几何问题来思考。