信号采集和零阶保持器

信号的采样和复现的数学描述一、采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号)(te，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得到一串脉冲序列信号)(te。可见在采样瞬时，)(te的脉冲强度等于相应瞬时)(te的幅值，即)0(Te,)1(Te,)2(Te,…)(nTe，…如图8－8所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(tT作为幅值调制器的载波信号，)(tT的数学表达式为-nnT)-(t)(tT(8－1)其中n0,±1,±2,…)(te调幅后得到的信号，即采样信号)(te为nTnTttettete)()()()()((8－2)通常在控制系统中，假设当0t时，信号0)(te，因此)2()2()()()()0()(TtTeTtTetete)()(nTtnTe(8－3)或0)()()(nnTtnTete(8－4)式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nTt表示脉冲出现的时刻；而)(nTe代表这一时刻的脉冲强度。式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。二、采样信号的频谱假设连续信号)(te的富氏变换式为)(jE，采样后信号*()et的富氏变换式用*()Ej表示，下面我们来看)(jE的具体表达式。由于理想脉冲序列)(tT是一个周期函数，其周期为T，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即ntjnTseTt1)(（8－5）其中Ts2为采样角频率。将式(8－5)的结果代入(8－2)式得ntjnTseteTttete)(1)()()(（8－6）根据复位移定理；若[()]()FetEj，则[()]()atFeteEja因此，式(8－6)的富氏变换式为nsjnjETjEteF)(1)()]([(8－7)假定连续信号)(te的频谱如图8－10(a)所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号)(te的频谱如图8－10(b)所示。由图8－10，可得到如下结论：(1)0n的项为)(1jET，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号)(te的频谱。(2)同时派生出以s为周期的，无限多个高频频谱分量)(1sjnjET，其中n±1，±2,…。h以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可知，在一定条件下，原函数)(te与其富氏变换式)(jE是一一对应的，亦即由富氏变换式)(jE可以唯一地还原成原函数)(te。可以设想，如果让采样信号通过一个图8－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T倍，就能完全重现原信号。由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号)(te来复现采样前的连续信号)(te，采样频率s必须大于或等于连续信号)(te频谱中最高频率max的两倍，即max2s(8－8)这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样过程会损失任何信息。由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即max2s时，则将会出现如图8－12所示的频谱重叠现象。很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。另外，需要指出的是，如图8－11所示的理想滤波器，实际上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。三、零阶保持器的数学模型零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT时刻的采样信号值一直保持到第Tn)1(时刻的前一瞬时，把第Tn)1(时刻的采样值一直保持到Tn)2(时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列)(te变成一个连续的阶梯信号)(teh。因为在每一个采样区间内)(teh的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH”来表示。如果把阶梯信号)(teh的中点连起来，则可以得到与)(te形状一致而时间上迟后半个采样周期)2(T的响应曲线)2(Tte，如图8－13中的虚线所示。由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影响。为了求取零阶保持器(ZOH)的数字模型，可以从图8－13中任取一个采样周期来进行分析。零阶保持器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉冲过渡函数的拉氏变换式，即为零阶保持器的传递函数。零阶保持器的单位脉冲过渡函数的图形是高度为1，宽度为T的矩形波，如图8－14(a)所示。为了求其拉氏变换式，可以把它分解成两个阶跃函数之和，如图8－14(b)所示。于是，脉冲过渡函数可表示为)(1)(1)(Tttty相应的拉氏变换式为seesssYTsTs111)(这就是零阶保持器的传递函数，即sesGTsh1)((8－9)而零阶保持器的频率特性为22)2sin(1)(TTTTjejGTjh其频率特性曲线如图8－15所示。与理想滤波器图8－11相比较，可见，两者都能起低通滤波作用。不过零阶保持器的频率特性不很理想。信号经过零阶保持器以后，其高频分量不能完全滤掉。此外，零阶保持器具有2T的相角迟后。因此，零阶保持器的引入将会使系统的稳定性变差。零阶保持器的一个优点是，可以近似地用无源网络来实现。如果将零阶保持器传递函数中的Tse项展开成幂级数，并取前两项，则有111111111)(TsTTssessesGTsTsh这是就图8－16所示RC网络的传递函数。