北师大版八年级数学下册-角平分线中作辅助线的四种常用方法

阶段方法专训角平分线中作辅助线的四种常用方法第一章三角形的证明1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：(1)AM⊥DM；证明：∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM.∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，∴∠MAD＋∠ADM＝90°.∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：(2)M为BC的中点．证明：如图，过点M作MN⊥AD于点N.∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM.∴BM＝CM，即M为BC的中点．2．如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.求证：∠C＋∠BAD＝180°.【点拨】本题运用转化思想进行证明．当遇到证明两角的和是180°的问题时，往往将其转化为证明平角或三角形内角和的问题．本题根据角平分线的性质想到从点D向∠ABC的两边作垂线，构造直角三角形，证明两个直角三角形全等，从而将两个角的和转化为一个平角，进而得出结论．证明：如图，过点D作DE⊥AB，且DE交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F.∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF.在Rt△EAD和Rt△FCD中，AD＝CD，DE＝DF，∴Rt△EAD≌Rt△FCD(HL)．∴∠EAD＝∠C.∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠C＋∠BAD＝180°.3．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D是AB上一点，AE⊥CD，且AE交CD的延长线于点E，且AE＝12CD，BD＝8cm.求点D到AC的距离．【点拨】本题综合考查了三角形全等的判定与性质和角的平分线的性质，解决本题的关键是证明CD平分∠ACB.可以通过添加辅助线构造全等三角形来证得角相等，再由角的平分线的性质求得结论．解：如图，分别延长AE，CB，两线相交于点F，过点D作DM⊥AC于点M.∵∠ABC＝90°，AE⊥CD，∴∠FAB＋∠F＝90°，∠FCE＋∠F＝90°.∴∠FAB＝∠FCE.在△ABF和△CBD中，∠FAB＝∠DCB，AB＝CB，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴△ABF≌△CBD(ASA)．∴AF＝CD.∵AE＝12CD，∴AE＝12AF＝EF.在△ACE和△FCE中，AE＝FE，∠AEC＝∠FEC＝90°，CE＝CE，∴△ACE≌△FCE(SAS)．∴∠ACE＝∠FCE.又∵DM⊥AC，DB⊥BC，BD＝8cm，∴DM＝DB＝8cm，即点D到AC的距离为8cm.4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AC＋CD＝AB.【点拨】本题也可看成将△ACD沿AD折叠，点C落在AB边上的点E处．证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△AED≌△ACD.∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB.∴BE＝DE.∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD，即AC＋CD＝AB.