圆锥曲线题型分类训练

Gothedistance一、有关求值问题1.已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．2.圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P且离心率为3.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．3.已知抛物线1C:3x＝y，圆2C:22(4)1xy的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线1c的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线1c上一点（异于原点），过点P作圆2c的两条切线，交抛物线1c于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程二、有关证明问题4.如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k0，求证：PA⊥PB5.已知曲线22:528CmxmymR.（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；（2）设4m，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线4ykx与曲线C交于不同的两点M，N，直线1y与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线.Gothedistance三、有关求范围和最值问题6.椭圆C：2222+1xyab(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．7.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．8.如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．9.在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线2:2Cxpy(0)p的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过,,MFO三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点?M若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为2，直线1:4lykx与抛物线C有两个不同的交点,AB，l与圆Q有两个不同的交点,DE，求当122k时，22||||ABDE的最小值．10.椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32，x轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于C1的长半轴长。（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．（i）证明：MD⊥ME;Gothedistance（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是12,SS．问：是否存在直线l,使得121732SS?请说明理由。四、有关定点定值问题11.在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.12.如图所示，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值．13.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程．(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．14.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(0)Fc，，2(0)Fc，．已知(1)e，和32e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设,AB是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P．（i）若1262AFBF，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF是定值．五、有关探究性问题GothedistanceOxyACDMN15.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率23e，且椭圆C上的点到(0,2)Q的距离的最大值为3；（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点(,)Mmn使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同的两点,AB，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由.16.如图,椭圆2222+=1(0)xyCabab：经过点3(1,),2P离心率1=2e,直线l的方程为=4x.(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记,,PAPBPM的斜率分别为123,,.kkk问:是否存在常数,使得123+=.kkk?若存在求的值;若不存在,说明理由.17.如图,已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2nmn,过原点且不与x轴重合的直线l与1C,2C的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记mn,BDM和ABN的面积分别为1S和2S.(I)当直线l与y轴重合时,若12SS,求的值;(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得12SS?并说明理由.18.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．Gothedistance一、有关求值问题(2011年之后高考题)1.已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝8p，所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1my＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3)．故线段MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m，Gothedistance|MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝4（m2＋1）2m2＋1m2.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝4（m2＋1）2（2m2＋1）m4，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝02.圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1­6所示)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P且离心率为3.图1­6(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．20．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为－x0y0，切线方程为y－y0＝－x0y0(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为4x0，0，0，4y0.故其围成的三角形的面积S＝12·4x0·4y0＝8x0y0.由x20＋y20＝4≥2x0y0知，当且仅当x0＝y0＝2时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(2，2)．由题意知2a2－2b2＝1，a2＋b2＝3a2，解得a2＝1，b2＝2，故C1的方程为x2－y22＝1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C2的方程为x23＋b21＋y2b21＝1，其中b10.由P(2，2)在C2上，得23＋b21＋2b21＝1，解得b21＝3，因此C2的方程为x26＋y23＝1.显然，l不是直线y＝0.设直线l的方程为x＝my＋3，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，Gothedistance由x＝my＋3，x26＋y23＝1，得(m2＋2)y2＋23my－3＝0.又y1，y2是方程的根，因此y1＋y2＝－23mm2＋2，①y1y2＝－3m2＋2，②由x1＝my1＋3，x2＝my2＋3，得x1＋x2＝m（y1＋y2）＋23＝43m2＋2，③x1x2＝m2y1y2＋3m（y1＋y2）＋3＝6－6m2m2＋2.④因为AP→＝(2－x1，2－y1)，BP→＝(2－x2，2－y2)，由题意知AP→·BP→＝0，所以x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤式整理得2m2－26m＋46－11＝0，解得m＝362－1或m＝－62＋1.因此直线l的方程为x－(362－1)y－3＝0或x＋(62－1)y－3＝0.3.已知抛物线1C:3x＝y，圆2C:22(4)1xy的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线1c的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线1c上一点（异于原点），过点P作圆2c