2016年专项练习题集-直线与椭圆的位置关系

2016年专项练习题集-直线与椭圆的位置关系选择题1、设直线y=k(1)x与椭圆相交于A、B两点，过A向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的焦点，则k等于（）A．23B．23C．34D．34【分值】5【答案】C【易错点】不能看出直线是经过椭圆右焦点的，也就不能知道点A的射影是左焦点。【考查方向】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系。菁优网【解题思路】确定A的横坐标，带入椭圆求出纵坐标，将A坐标带入直线方程求K。解析：由题知：直线经过椭圆右焦点（1,0），所以过A向x轴作垂线所得垂足为椭圆左焦点（-1,0）所以A（-1，32），代入直线方程得：K=34，故选C。2、直线y=(1)kx，当k变化时，直线被椭圆2214yx截得的最大弦长是（）A．4B．2C．D．不能确定【分值】5【答案】C【考查方向】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值。【易错点】不能看出直线恒经过椭圆上的点（1,0），即椭圆右焦点，也就不能将问题转化为两点间的距离。【解题思路】直线y=(1)kx恒过定点P（1，0），且是椭圆的短轴右顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（cosθ，2sinθ），利用三角函数即可得到结论．【解析】直线y=(1)kx恒过定点P（1，0），且是椭圆的短轴右顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（cosθ，2sinθ）∴|PQ|2=（cosθ-1）2+（2sinθ）2=﹣3cos2θ﹣2cosθ+5∴当cosθ=﹣时，∴，故选C3、Ｐ为上的点，直线与椭圆相交于A、B两点，点P到直线AB的距离为，这样的点P共有（）个．A．1B．2C．3D．4【分值】5【答案】B【考查方向】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系、两平行线间的距离公式，得到与AB平行的且与椭圆相切的切线l的方程，是解题的关键．【易错点】不能把相切作为判断的临界状态。【解题思路】作与AB平行的直线l，使l与椭圆相切，设直线l的方程为，把l的方程代入椭圆方程化简，由由判别式等于0解得k值，从而得到直线l的方程，求出直线l与AB间的距离，将此距离和h作比较，从而得出结论．【解析】作与AB平行的直线l，使l与椭圆相切，设直线l的方程为，把l的方程代入椭圆方程化简可得x2﹣4kx+8k2﹣8=0，由判别式等于0解得k=，或k=﹣，故直线l的方程为，或．因为与AB的距离为=＜，与AB的距离为=＞．故这样的点P共有2个，故选B．4、已知椭圆22=143xy，则以点A(1,1)为中点的弦所在直线的方程为（）A．3x+4y﹣7=0B．3x+4y=0C．3x+4y﹣12=0D．4x﹣3y=0【分值】5【答案】A【考查方向】本题考查直线方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．【易错点】不能想到用设而不求法整体求解，而去设直线方程联立。权所解题思路：设以点A(1,1)为中点的弦与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2），利用点差法能求出结果．【解析】设以点A(1,1)为中点的弦与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，分别把M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆方程22=143xy，可得2211143xy，2222143xy再相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+43（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2（x1﹣x2）+83（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴点A(1,1)为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），整理，得：3x+4y﹣7=0．故选：A．5、F1，F2分别为椭圆22143xy的左右焦点，点P（x，y）在直线112yx上（x≠2且x≠±1），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，则的值为（）A．2B．4C．-4D．﹣2【分值】5【答案】C【考查方向】本题考查椭圆的几何性质，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．【易错点】忽视点P（x，y）在直线112yx上，而找不到112yx这一关系。【解题思路】先确定椭圆的左右焦点坐标，再表示出斜率，进而计算，利用点P（x，y）在直线112yx上（x≠2且x≠±1），即可求得结论．【解析】由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0）∵直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，∴==∵点P（x，y）在直线112yx上（x≠2且x≠±1），∴112yx，∴24244112xxyx∴=-4故选C填空题6、过点Ｐ(1,1)作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆的焦点和上顶点，则椭圆方程为．【分值】3【答案】2212xy【考查方向】直线与圆锥曲线的关系、圆锥曲线中的最值与范围问题．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、两圆的根轴方程的求法、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式等是解题的关键．【易错点】不能找到正确的方法求解出过切点的直线方程。【解题思路】方法一：利用圆的方程相减即可得出两圆相交的交点所在的直线的方程，进而得出椭圆的焦点、顶点，再利用椭圆的性质即可得出方程．方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，即可得出切点为A（1，0）；设另一条切线的斜率为k，则切线方程为1(1)ykx，利用切线的性质和点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到切线的距离d=r，可得斜率k，进而得到切线方程和切点．解析：方法一：设点Ｐ(1,1)，O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为：22111()()222xy．与方程x2+y2=1相减得1xy．令x=0，得y=１；令y=0，得x=1．∴焦点为（1，0），上顶点为（0，１）．∴c=1，b=１．a2=b2+c2=２．∴椭圆的方程为2212xy．方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，切点为A（1，0）；设另一条切线的斜率为k，则切线方程为1(1)ykx，化为10kxyk，则2111kk，解得0k，得切线方程为1y得切点B(0,1)．∴直线AB的方程为：1xy。以下同方法一．７、如果直线L1：2yx与椭圆221168xy相交于A、B两点，直线L2与该椭圆相交于C、D两点，且ABCD是平行四边形，则L2的方程是．【分值】3【答案】y=x﹣2【考查方向】本题考查椭圆和直线的性质，考查转化思想和数形结合思想。【易错点】不能将条件“ABCD是平行四边形”转化为交点关于坐标轴对称。【解题思路】由ABCD是平行四边形可知直线l1∥l2，再由l1过点（0，2），知l2过点（0，﹣2），由此可导出l2的方程．【解析】由题意可知，直线l1∥l2，∴l2的斜率k=1．∵ABCD是平行四边形，l1过点（0，2），∴l2过点（0，﹣2），∴直线l2的方程是y=x-2，故答案为：y=x﹣2；8、已知两点A、B的坐标分别为（0，-1），（0，1），若直线上存在点P（x、y），使得2222(1)(1)4yxyx，则称该直线为“椭圆型直线”，给出下列直线：①y=x+1；②y=2；③y=﹣x+3；④y=﹣2x+3，其中是“椭圆型直线”的有．【分值】3【答案】①②④．【考查方向】本题是新定义题，考查了椭圆的定义及标准方程，考查了数学转化思想方法及方程思想方法，解答此题的关键是把问题转化为判断直线方程与椭圆方程联立的方程组是否有解，属中档题．【易错点】不能将问题转化为研究椭圆与直线是否有交点。【解题思路】运用椭圆的定义可得，点P的轨迹方程是22143yx，把①，②，③，④分别和22143yx，联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“椭圆型直线”．由判别式大于0，即可判断①；代入y=2，无解，即可判断②；由判别式小于0，即可判断③；由判别式大于0，即可判断④．【解析】由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其方程是22143yx，对于①，把y=x+1代入22143yx，并整理得：27690xx，由△＞0，则y=x+1是“椭圆型直线”；对于②，把y=2代入22143yx，得：=0，成立，∴y=2,是“椭圆型直线”；对于③，把y=﹣x+3代入22143yx，并整理得：2718150xx，△＜0，则y=﹣x+3不是“椭圆型直线”；对于④把y=﹣2x+3代入22143yx，并整理得，21636150xx，由△＞0，则y=﹣2x+3是“椭圆型直线”．故答案为：①②④．综合题2个9、已知椭圆E：（a＞b＞0），离心率为12，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；【分值】5【答案】+=1【考查方向】考查直线与圆锥曲线的关系、椭圆的标准方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．【易错点】容易忘记讨论直线的斜率不存在时的情况。【解题思路】通过离心率为12，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a、b，即可求椭圆E的方程；【解析】（1）由题e=12知，a=2c．①又由，得②且a2=b2+c2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E的方程为+=1．（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．【分值】7【答案】x2+y2=【考查方向】考查直线与圆锥曲线的关系、椭圆的标准方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．【易错点】容易忘记讨论直线的斜率不存在时的情况。【解题思路】假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设1122(,)(,)AxyBxy，结合12120xxyy，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB的斜率不存在，设11(,)Axy，则11(,)Axy，利用⊥，求出半径，得到结果．解析：（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，r2=，①消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴•=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．10、已知椭圆+=1（a＞b＞0）上的点到左焦点的最短距离为2(23)，半短轴长为2（I）求椭圆的方程；【分值】5【答案】+=1【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．【易错点】忽视方程的判别式大于0，使最后面积关于m的函数的定义域变大为R。解题思路：运用2(23),2acb解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；【解析】由题意可得，2(23),2acb解得a=2，b=，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）直线y=x+m与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【分值】7【答案】2【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．【易错点】忽视方程的判别式大于0，使最后面积关于m的函数的定义域变大为R。解题思路：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=x+m代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线与y轴交于（0，m），则S△OAB=|m|•|x1﹣x2|，化简整理，再由基本不等式即可得到最大值．【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=x+