2018-2019学年九年级数学上册 单元测试（二）二次函数 （新版）新人教版

1单元测试(二)二次函数(满分：120分考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.下列各式中，y是x的二次函数的是(B)A．xy＋x2＝1B．x2－y＋2＝0C．y＝1x2D．y2－4x＝32．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(C)A．y＝(x＋1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋4C．y＝(x－1)2＋2D．y＝(x－1)2＋43．下列关于二次函数y＝－12x2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点坐标为(0，0)．其中正确的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个4．将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为(A)A．y＝2x2＋1B．y＝2x2－3C．y＝2(x－8)2＋1D．y＝2(x－8)2－35．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的对称轴是(B)A．直线x＝－3B．直线x＝－2C．直线x＝－1D．直线x＝06．在求解一元二次方程x2－2x－2＝0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑软件绘制了二次函数y＝x2－2x－2的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，得出结果．该同学采用的方法体现的数学思想是(C)A．类比思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理2化思想7．当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是(D)8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a0，b0，c0B．－b2a＝1C．a＋b＋c0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根10．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝x24(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则S△OFBS△EAD的值为(A)A.16B.14C.26D.243二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么y1＜y2.(填“＞”“＝”或“＜”)12．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取最大值4，当x＝0时，y＝－14，则函数解析式为y＝－2(x－3)2＋4．13．二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，P为它的顶点，则S△PAB＝8．14．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为75m2.15．已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝12x－1．三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题共2个小题，每小题5分，共10分)(1)画出函数y＝－x2＋1的图象；解：列表如下：x…－3－2－10123…y…－8－3010－3－8…描点、连线如图．4(2)已知抛物线y＝－12x2－3x－52，求其开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝－12x2－3x－52＝－12(x2＋6x＋9－9)－52＝－12(x＋3)2＋92－52＝－12(x＋3)2＋2.所以，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标为(－3，2)．17．(本题7分)已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？解：(1)∵图象过y轴上的点(0，3)，故设此二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋3，将(－3，0)，(2，－5)代入y＝ax2＋bx＋3，得9a－3b＋3＝0，4a＋2b＋3＝－5.解得a＝－1，b＝－2.∴此二次函数的解析式是y＝－x2－2x＋3.(2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在此二次函数的图象上．18．(本题8分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c0的解集为1x3；(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x2；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k2．19．(本题8分)如图，一次函数y1＝kx＋b与二次函数y2＝ax2的图象交于A，B两点．(1)利用图中条件，求两个函数的解析式；5(2)根据图象写出使y1y2的x的取值范围．解：(1)由图象可知：B(2，4)在二次函数y2＝ax2图象上，∴4＝a·22.∴a＝1.则y2＝x2.又∵A(－1，n)在二次函数y2＝x2图象上，∴n＝(－1)2.∴n＝1.则A(－1，1)．又∵A，B两点在一次函数y1＝kx＋b图象上，∴1＝－k＋b，4＝2k＋b.解得k＝1，b＝2.则y1＝x＋2.∴一次函数解析式为y1＝x＋2，二次函数解析式为y2＝x2.(2)根据图象可知：当－1x2时，y1y2.20．(本题8分)如图，已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.(1)试确定a的值，并写出B点的坐标；(2)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．解：(1)将A(0，－2)代入y＝a(x－1)2－3，∴－2＝a－3，∴a＝1.∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3.∴顶点B(1，－3)．(2)设点A关于x轴对称的点为C，∴C(0，2)设直线CB的解析式为y＝mx＋n，直线CB与x轴交于点P，此时△PAB的周长取最小值，6把C(0，2)和B(1，－3)代入y＝mx＋n，∴2＝n，－3＝m＋n，解得m＝－5，n＝2.∴直线CB的解析式为y＝－5x＋2.令y＝0，代入y＝－5x＋2，∴x＝25.∴点P的坐标为(25，0)．21．(本题10分)在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面209m，与篮圈中心的水平距离为7m，球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？解：(1)由题意知，抛物线的顶点为(4，4)，经过点(0，209)．设抛物线解析式为y＝a(x－4)2＋4，代入(0，209)，解得a＝－19，∴y＝－19(x－4)2＋4.当x＝7时，y＝－19×(7－4)2＋4＝3，∴一定能准确投中．(2)当x＝1时，y＝－19×(1－4)2＋4＝3＜3.1，∴队员乙能够成功拦截．22．(本题12分)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件)x＋4090每天销量(件)200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．7(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000.当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.综上所述：y＝－2x2＋180x＋2000（1≤x50），－120x＋12000（50≤x≤90）.(2)当1≤x＜50时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝45，∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050.当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y最大＝6000.∵6050＞6000，∴销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．23．(本题12分)综合与探究：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B.(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为D.∵A(0，2)，C(－1，0)，∴OA＝2，OC＝1.∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO.又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO(AAS)．∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2.∴点B的坐标为(－3，1)．(2)抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B(－3，1)，8则1＝9a－3a－2，解得a＝12，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋12x－2.(3)假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形．①若以点C为直角顶点，则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC(AAS)．∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，∴P1(1，－1)．当x＝1时，y＝12×1＋12×1－2＝－1，符合题意．②若以点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，∴P2(2，1)．当x＝2时，y＝12×4＋12×2－2＝1，符合题意．③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即点P2；点P也可能在y轴左侧，即点P3.过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1，∴P3为(－2，3)．当x＝－2时，y＝12×4－12×2－2＝－1≠3，不符合题意．综上所述，存在点(1，－1)与(2，1)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形．9