2018-2019学年九年级数学下册 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.2.2 圆周角 第2课

12.2.2圆周角第2课时圆周角定理的推论2及圆内接四边形知|识|目|标1．通过特殊化思想探究直径所对的圆周角，理解圆周角定理的推论2.2．在学习圆周角的基础上，结合图形理解圆内接四边形的概念，并探究圆内接四边形的性质.目标一理解圆周角定理的推论2并能计算或证明例1教材补充例题2017·宁波模拟如图2－2－10，AB是⊙O的直径，且AB＝10，sin∠BAC＝35，D为优弧ABC上任意一点．图2－2－10(1)求AC的长；(2)求tan∠ADC的值．【归纳总结】1．圆周角定理及其推论中的转化思想：(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的相互转化；(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：当题目中的条件出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，得到直角，然后结合直角三角形的性质解决问题，即“见直径出直角”．目标二理解圆内接四边形及其性质例2教材补充例题如图2－2－11，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F，且CD∥EF.求证：(1)四边形EFDC是平行四边形；(2)CE︵＝DF︵.图2－2－11【归纳总结】圆内接四边形的角的“三种关系”：(1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°；(2)若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°；2(3)圆内接四边形任意一个外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．知识点一圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．知识点二圆内接四边形定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作这个四边形的外接圆．性质：圆内接四边形的对角______．如图2－2－12，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，D是圆上一点(不与点A，B，C重合)，求∠ADC的度数．图2－2－12解：连接BC，如图2－2－13，图2－2－13∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADC＝50°.上述解答完整吗？若不完整，请补充完整．3教师详解详析【目标突破】例1解：(1)连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝10，sin∠BAC＝35，∴BC＝6，∴AC＝8.(2)∵∠ADC＝∠B，∴tan∠ADC＝tanB＝ACBC＝86＝43.例2证明：(1)连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠BAC＋∠E＝180°.又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，∴∠BAD＋∠F＝180°.又∵∠BAC＋∠BAD＝180°，∴∠BAC＝∠F，∴∠E＋∠F＝180°，∴CE∥DF.又∵CD∥EF，∴四边形EFDC是平行四边形．(2)由(1)得四边形EFDC是平行四边形，∴CE＝DF.又∵⊙O1与⊙O2等圆，∴CE︵＝DF︵.备选目标圆心角、圆周角性质定理的综合运用例已知：如图所示，BC为半圆⊙O的直径，AB︵＝AF︵，AC与BF相交于点M.(1)若∠FBC＝α，求∠ACB的度数(用α表示)；(2)过点A作AD⊥BC于点D，交BF于点E，求证：BE＝EM.[解析](1)利用AB︵＝AF︵，探索∠ACB与∠FCB的关系；(2)欲证BE＝EM，因为它们所在的三角形不全等，故找中间线段转换，注意到∠BAC＝90°，因此选择AE为中间线段．解：(1)如图，连接CF.∵BC是⊙O的直径，∴∠F＝90°.∵∠FBC＝α，∴∠FCB＝90°－α.∵AB︵＝AF︵，4∴∠5＝∠ACF，∴∠5＝12∠FCB＝12×(90°－α)＝45°－12α.即∠ACB＝45°－12α.(2)证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，即∠1＋∠2＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠5＋∠2＝90°，∴∠1＝∠5.∵AB︵＝AF︵，∴∠5＝∠4，∴∠1＝∠4，∴BE＝AE.在Rt△ABM中，∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠4，∴∠2＝∠3，∴EM＝AE，故BE＝EM.[归纳总结]在圆中求角的度数时，一般从与所求角相关的圆周角或圆心角入手，在进行角的转换时，还应特别注意“等弧”在角的转换中的重要过渡作用；在证明不是弦的两条线段相等时，一般考虑全等三角形或利用中间线段进行等量代换．【总结反思】[小结]知识点一直角直径知识点二互补[反思]解答不完整．正确解法：连接BC，如图．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°.当点D在优弧ABC上时，∠ADC＝∠B＝50°；当点D在劣弧AC上时，∠AD′C＝180°－∠B＝130°，∴∠ADC的度数为50°或130°.