2018-2019学年九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 1.1.2 正

1课时作业(二)[第一章1第2课时正弦和余弦]一、选择题1．2018·黄浦区一模在△ABC中，∠C＝90°，则下列等式成立的是()A．sinA＝ACABB．sinA＝BCABC．sinA＝ACBCD．sinA＝BCAC2．2018·孝感如图K－2－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于()图K－2－1A.35B.45C.34D.433．如图K－2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为()图K－2－2A．4B．25C.181313D.1213134．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，则cosA的值为链接听课例4归纳总结()A.35B.45C.34D.555．等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦值是链接听课例1归纳总结()A.513B.1213C.1013D.5126．直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按图K－2－3所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则cos∠CBE的值为()2图K－2－3A.257B.724C.2425D.725二、填空题7．如图K－2－4，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝________．图K－2－48．如图K－2－5，点A(t，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝23，则t的值为________．图K－2－59．如图K－2－6所示，AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE∶CF＝3∶2，则sin∠BAC∶sin∠ACB＝________．图K－2－610．2017·哈尔滨七十二中月考在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，若cos∠BAD＝23，BD＝5，则CD的长为________.链接听课例3归纳总结11．如图K－2－7，在▱ABCD中，BC＝10，sinB＝910，AC＝BC，则▱ABCD的面积是________．图K－2－7三、解答题12．如图K－2－8，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝45，求∠BAD的正弦3值和余弦值及AC的长度.链接听课例3归纳总结图K－2－813．如图K－2－9，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N的坐标为(20，0)，点M在第一象限内，且OM＝10，sin∠MON＝35.求：(1)点M的坐标；(2)cos∠MNO的值．图K－2－914．如图K－2－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为E.已知AC＝15，cosA＝35.(1)求线段CD的长；(2)求sin∠DBE的值.链接听课例3归纳总结图K－2－10415．已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5，α为其最小的锐角，求角α的正弦值和余弦值．探究题如图K－2－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求sin2A＋cos2A的值；(2)比较sinA和cosB的大小；(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相同的结果？若有，请说明理由．图K－2－115详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]B如图所示，sinA＝BCAB.故选B.2．[解析]A在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝AB2－AC2＝102－82＝6，∴sinA＝BCAB＝610＝35.故选A.3．[解析]A由余弦的定义可得cosB＝BCAB＝23.又∵AB＝6，∴BC＝4.故选A.4．[解析]B在Rt△ABC中，∵sinA＝BCAB，∴可设BC＝3k，AB＝5k(k0)，由勾股定理可求得AC＝4k，∴cosA＝ACAB＝45.故选B.5．[解析]A等腰三角形的腰长为12×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值为513.6．[解析]C设CE＝x，则AE＝8－x，根据折叠的性质可知BE＝AE＝8－x.在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE2＝BC2＋CE2，即(8－x)2＝62＋x2，解得x＝74，即BE＝254，所以cos∠CBE＝BCBE＝2425.7．[答案]255[解析]如图，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝22＋42＝25，AD＝4，∴cosA＝ADAC＝425＝255.68．[答案]25[解析]如图，过点A作AB⊥x轴于点B，∴sinα＝ABOA.∵sinα＝23，∴ABOA＝23.∵A(t，4)，∴AB＝4，∴OA＝6，∴t＝25.9．[答案]2∶3[解析]由锐角三角函数的定义可知，sin∠BAC＝CFAC，sin∠ACB＝AEAC，∴sin∠BAC∶sin∠ACB＝CFAC∶AEAC＝CF∶AE＝2∶3.故答案为2∶3.10．[答案]1或5[解析](1)如图①，若△ABC为锐角三角形，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.∵cos∠BAD＝ADAB＝23，∴设AD＝2x，则AB＝3x.∵AB2＝AD2＋BD2，∴9x2＝4x2＋(5)2，解得x＝1或x＝－1(舍去)，∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，∴CD＝AC－AD＝1.(2)如图②，若△ABC为钝角三角形，由(1)知，AD＝2，AB＝AC＝3，∴CD＝AC＋AD＝5.故答案为1或5.11．[答案]1819[解析]如图，过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中，sinB＝CEBC，7∴CE＝BC·sinB＝10×910＝9，∴BE＝BC2－CE2＝102－92＝19.∵AC＝BC，CE⊥AB，∴AB＝2BE＝219.则▱ABCD的面积是219×9＝1819.12．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD.∵cosB＝BDAB＝45，∴sin∠BAD＝BDAB＝45，∴cos∠BAD＝1－sin2∠BAD＝35，∴tan∠BAD＝sin∠BADcos∠BAD＝43.∵cos∠CAD＝ADAC＝cosB＝45，AD＝4，∴AC＝5.13．解：(1)如图，过点M作MP⊥ON，垂足为P.在Rt△MOP中，由sin∠MON＝35，OM＝10，得MP10＝35，即MP＝6，由勾股定理，得OP＝102－62＝8，∴点M的坐标是(8，6)．(2)由(1)知MP＝6，PN＝20－8＝12，∴MN＝62＋122＝65，∴cos∠MNO＝PNMN＝1265＝255.14．解：(1)因为AC＝15，cosA＝35，∠ACB＝90°，所以ACAB＝35，所以AB＝25.又因为D为AB的中点，所以CD＝252.(2)由D是AB的中点，得DC＝DB，从而sin∠ECB＝sin∠ABC＝35，又BC＝AB2－AC2＝20，所以BE＝12.由勾股定理得CE＝16，所以DE＝16－252＝72，而DB＝252，8所以sin∠DBE＝DEDB＝72×225＝725.15．[解析]要求最小锐角α的正弦值和余弦值，需先确定哪一个角是最小的锐角．因为在三角形中，最短的边所对的角最小，因此首先要求出哪条边最短．解：在直角三角形中，∵斜边与一直角边的比为7∶5，∴可设这一直角边的长为5k(k＞0)，则斜边的长为7k.设第三边长为a，由勾股定理，得a＝（7k）2－（5k）2＝24k2＝26k.∵26k＜5k＜7k，∴最短的边长为26k，∴长为26k的边所对的角为最小的锐角α，∴sinα＝26k7k＝267，cosα＝5k7k＝57，∴角α的正弦值为267，余弦值为57.[素养提升]解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝122＋52＝13，∴sinA＝BCAB＝513，cosA＝ACAB＝1213，cosB＝BCAB＝513.(1)∵sin2A＝5132＝25169，cos2A＝12132＝144169，∴sin2A＋cos2A＝25169＋144169＝1.(2)sinA＝cosB.(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相同的结果，即：对于任意直角三角形中的锐角A，都有sin2A＋cos2A＝1；在Rt△ABC中，若∠C为直角，则必有sinA＝cosB.理由如下：设在任意Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin2A＝BCAB2，cos2A＝ACAB2，∴sin2A＋cos2A＝BCAB2＋ACAB2＝BC2＋AC2AB2＝AB2AB2＝1.9∵sinA＝BCAB，cosB＝BCAB，∴sinA＝cosB.